初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念优秀导学案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念优秀导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
学习重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
学习难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
【复习导入】
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？


【合作探究】
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？


问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
思考：上述所列方程有什么共同点？
(1) 方程的两边都是_____；
(2) 都只含_____个未知数；
(3) 未知数的最高次数都是_____.

知识要点：
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0).
ax2是 ，a是 ；
bx是 ，b是 ；c是 .
想一想：为什么一般形式中ax2 + bx + c = 0要限制a ≠ 0？b、c 可以为0吗？
方法总结：只要满足a≠0即可，b、c可以为 .
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
练一练
1. 判断下列方程是否为一元二次方程？
x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36；
(3)x + 3y = 36；
(5) x + 1 = 0；
(7)ax2 + bx + c = 0；
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？(2) (a－1)x| a| +1 －2x－7=0.
(1)ax2－x=2x2；
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
练一练
2. 方程(2a－4)x2－2bx+a=0，
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
例3 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
注意：系数和项均包含前面的符号.
探究点2：一元二次方程的根
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
试一试：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.
变式：已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026的值.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.

当堂反馈
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.3x2＋1x＝0B.2x－3y＋1＝0
C.(x－3)(x－2)＝x2D.(3x－1)(3x＋1)＝3
2.已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是( )
A.－3B.3C.0D.0或3
3.方程2x2－1＝3x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 .
4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m＋1｜＋2x－7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
5.[教材变式]根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数.
参考答案
【复习导入】
解：设雕像下部 BC = x m，列方程得 x2 = 5(5 - x )，整理得 x2 + 5x - 25 = 0．①
【合作探究】
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 解：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100－2x) cm，宽为(50－2x) cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x +350 = 0.
问题2 解：根据题意，列方程： 化简，得
观察与思考 共同点：①方程的两边都是整式； ②都只含一个未知数；③未知数的最高次数都是2.
知识要点 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2是二次项， a是二次项系数；
bx是一次项， b是一次项系数； c是常数项.
想一想 当a = 0时，bx＋c = 0，不符合定义；当a≠0，b = 0时，ax2＋c = 0，符合定义；
当a≠0，c=0时，ax2＋bx= 0，符合定义；当a ≠ 0，b = c = 0时，ax2 = 0，符合定义．
典例精析
例1 C
练一练1. （1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）错 （6）对
（7）错 （8）错
例2 解：(1)将方程整理，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
2. 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，是一元一次方程．
例3 解：去括号，得：3x2－3x=5x+10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为
3x2－8x－10=0.其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.
探究点2：一元二次方程的根
例4 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.
变式 解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.
∴2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×2+2026=2030.
当堂反馈
1. D 2. A 3. 2 ， －3 ， －1 . 4. －3 .
5.解：(1)依题意得x(x－1)＝756.一般形式：x2－x－756＝0.
(2)设这两个连续奇数分别为x，x＋2，
根据题意得x2＋(x＋2)2＝130.一般形式：2x2＋4x－126＝0.
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x2 – x – 6