第25章第1课《一元二次方程》课件2026-2027学年九年级数学人教版九上

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念课文配套课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了cm2，ax2等内容，欢迎下载使用。
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有 叫作方程.
2. 一元一次方程的三要素是什么？
其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。a 是未知数 x 的系数，b 是常数项
3.一元一次方程一般形式如何表示？
问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程
(100−2x)(50−2x) = 3600.
x2−75x+350 = 0. ①
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）
问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？
解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程
x2−x−56 = 0. ②
问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程
x2 = 5(5−x).
x2+5x−25 = 0. ③
方程①②③是一元一次方程吗？它们有什么共同特点呢？
x2−75x+350 = 0 ①
x2−x−56 = 0 ②
x2+5x−25 = 0 ③
1.分母中不含未知数，都是整式方程；
3.未知数的最高次数是2.
想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？
当a≠0，b=c=0时
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系
ax+b=0（a≠0）
ax2+bx+c=0（a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法）
2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，5B. 3，0C. 3，–5D. 5，0
例2. 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2–3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2–8x–10=0.
它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10.
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根?– 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的解（根）.
探究2：一元二次方程的根
例3.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值.
1.若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为_____．2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）满足4a-2b+c=0，则此方程必有一根为_____ 3.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2 +x+a2-1=0的常数项是0，则a为（ ）A.1 B.-1 C. 1或-1 D.0.5
4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81；(3) 4x(x+2)=25；(4) (3x−2)(x+1)=5x−2.
解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0.二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1.(2)一般形式为4x2-81=0.二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81.
5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81；(3) 4x(x+2)=25；(4) (3x−2)(x+1)=5x−2.
解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0.二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25.(4)一般形式为3x2-4x=0.二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0.
6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：(1)设正方形的边长为x,根据题意，得4x2=25,一般形式为4x2-25=0.
解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意，得x(x-2)=100,一般形式为x2-2x-100=0.
解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m,根据题意，得x=(1-x)2,一般形式为x2-3x+1=0.