数学九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.1 一元二次方程的概念精品课时训练

这是一份数学九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.1 一元二次方程的概念精品课时训练，共7页。试卷主要包含了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式等内容，欢迎下载使用。

知识点01
一元二次方程的定义及其一般形式
1.一元二次方程的定义
如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。说明：规定a≠0，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b一次项系数；c是常数项。
【即学即练】
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．3x+1=0B．ax2+bx+c=0
C．3t2+t+1=0D．x2+1x=2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：3x+1=0中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意；
选项B：ax2+bx+c=0中，未说明a≠0，若a=0则不是一元二次方程，故不满足题意；
选项D：x2+1x=2中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意；选项C：3t2+t+1=0中，是整式方程，只含一个未知数t，未知数最高次数为2，且二次项系数3≠0，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意．
2．若关于x的方程(m+3)x|m|−1+2(m+3)x−5=0是一元二次方程，求m的值．
【答案】3
【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案
【详解】解：由一元二次方程的定义可知|m|−1=2①m+3≠0②，
由①得m=±3．
由②得m≠−3，
所以m=3．
3．将方程4x−1=3x2化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为3时，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4，−1B．4，1 C．−4，−1D．−4，1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可．
【详解】解：将一元二次方程4x−1=3x2变形为：3x2−4x+1=0，
此时二次项系数为3，一次项系数为−4，常数项为1．
故答案为：D．
4．若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+a2−1=0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0且常数项的概念”是解题的关键．
根据一元二次方程常数项为0和二次项系数不为0的条件来确定a的值．
【详解】∵ 方程常数项为0，
∴ a2−1=0，解得a=±1．
又∵ 方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数a−1≠0，即a≠1．
∴ a=−1，
故选：C．
知识点02
一元二次方程的根
1.一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。
注意：
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为1，则有a+b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣1，则有a−b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为0，则有c=0；
【即学即练】
5．已知关于x的一元二次方程2x2−kx+4=0的一个根为x=2，则k的值为____．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解k的值．
【详解】把x=2代入原方程2x2−kx+4=0得：2×22−2k+4=0，
整理得8−2k+4=0，
即2k=12，
解得k=6．
6．若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2025的值为（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再对所求式子进行变形，代入计算．
【详解】解：∵m是方程2x2−3x−1=0的一个根，
∴2m2−3m−1=0，即2m2−3m=1．
∴6m2−9m+2025
=32m2−3m+2025
=3×1+2025
=3+2025
=2028
故选：C．
7．关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0，其中a，b，c满足4a+2b+c=0且a−b+c=0，则该方程的根是（ ）
A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=−2
C．x1=−1，x2=2D．x1=−1，x2=−2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据已知条件可知当x=2和当x=−1时，ax2+bx+c=0a≠0均成立，再由一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值即可得到答案．
【详解】解：当x=2时，ax2+bx+c=4a+2b+c，当x=−1时，ax2+bx+c=a−b+c，
∵a，b，c满足4a+2b+c=0且a−b+c=0，
∴当x=2和当x=−1时，ax2+bx+c=0a≠0均成立，
∴该方程的根是x1=−1，x2=2，
故选：C．
知识点03
根据实际问题列出一元二次方程
1.根据实际问题列出一元二次方程的基本思路
①理解题目的含义，设未知数（设所求的量为x）；
②分析题目中的数量关系和等量关系；
③列出一元二次方程。
【即学即练】
8．深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．70001+2x=8470
B．7000(1+x)2=8470
C．7000+70001+x+7000(1+x)2=8470
D．7000×21+x=8470
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题的列方程，根据增长率的计算规律，计算2023年经过两年增长后2025年的产量，即可列出对应方程．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
∵2023年平均每公顷产量为7000kg，
∴2024年平均每公顷产量为70001+xkg，
∴2025年平均每公顷产量为70001+x⋅1+x=7000(1+x)2kg，
又∵2025年平均每公顷产量为8470kg，
∴可列方程为7000(1+x)2=8470．
9．如图，把一块长为50cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．50−2x30−2x=800B．50−2x30−x=800
C．50−x30−2x=800D．50−x30−x=800
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为50−2xcm，宽为30−2xcm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是800cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为50−2xcm，宽为30−2xcm，
根据题意得：50−2x30−2x=800．
故选：A．
题型01 一元二次方程的识别与参数判定
【典例1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x−1x=0B．x2=12x
C．x2+x−4=x2D．y2−2x−1=0
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程x2+3x−1x=0不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B、方程x2=12x是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程x2+x−4=x2整理得x−4=0，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、方程y2−2x−1=0含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
故选：B．
（1）考查方向：直接判断是否为一元二次方程；整理后判断；含参数判定；绝对值指数求参。
（2）核心方法：看是否满足“整式方程、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”。

【变式1】关于x的方程m−2xm2−2−5x−1=0是一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2B．−2C．±2D．±3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可．
【详解】解：∵关于x的方程m−2xm2−2−5x−1=0是一元二次方程，
∴m2−2=2 且 m−2≠0，
由m2−2=2得m2=4，
∴m=±2，
又∵m−2≠0，
∴m≠2，
∴m=−2．
故选：B．
【变式2】方程n−3xn−1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ）
A．n>3B．n=3C．nx构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（ ）
A．6B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积=四个长方形面积+小正方形面积”的关系是解题的关键．
类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算a的值．
【详解】解：∵ 方程为x(7x−a)=20，
∴ 长方形的长为7x−a，宽为x，小正方形的边长为(7x−a)−x=6x−a．
∵ 小正方形的面积为64，
∴ (6x−a)2=64，即6x−a=8（边长为正）．
∵ 大正方形的边长为(7x−a)+x=8x−a，大正方形的面积为4×20+64=144，
∴ 8x−a=12（大正方形边长为正）．
∵ 8x−a=12，6x−a=8，
∴ 两式相减得：(8x−a)−(6x−a)=12−8，
即2x=4，解得x=2．
将x=2代入6x−a=8，得12−a=8，
解得a=4．
故选：B．
19．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．50×30−50x−30x+2x2=800B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800
C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800
【答案】C
【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积，
由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为x 米，所以种植区域的长为（50−2x ）米，宽为（30−x ）米，
根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800．
故选C．
20．定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程−4x2+3x+1=0的“倒方程”是 ；
(2)若x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的“倒方程”的解，求出c的值；
(3)若m是一元二次方程−6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2−6m+2025的值为 ．
【答案】(1)x2+3x−4=0
(2)c=−3
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程x2−2x+c=0的倒方程为cx2−2x+1=0，把x=−1代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程−6x2+x+1=0的倒方程为x2+x−6=0，再结合方程根的定义得到m2+m−6=0，得到m3+m2−6m=0，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程−4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x−4=0；
（2）解： 由题知，方程x2−2x+c=0的倒方程为cx2−2x+1=0，
将x=−1代入此方程得，c+2+1=0，
解得c=−3；
（3）解：由题知，一元二次方程−6x2+x+1=0的倒方程是x2+x−6=0，
∵m是此方程的一个实数根，
∴m2+m−6=0，
∴m3+m2−6m=0，
∴m3+m2−6m+2025=0+2025=2025．
教学目标
掌握一元二次方程的定义及其一般形式，并能根据定义判断一元二次方程以及求未知字母的值。还能把非一般形式的一元二次方程化成一般形式并确定一元二次方程各项的系数。
掌握一元二次方程的根的定义，并能够根据一元二次方程的根求出未知系数或式子的值。
3. 能够根据实际问题中的数量关系或等量关系列出简单的一元二次方程。
教学重难点
重点
（1）一元二次方程的定义与一般形式及其各项系数的确定；
（2）一元二次方程的根的理解及其应用；
（3）根据实际问题抽象出一元二次方程。
2. 难点
（1）根据一元二次方程的定义求未知系数的值；
（2）根据一元二次方程的解求代数式的值。
x
…
−2
−1
0
1
2
…
ax2+bx
…
6
2
0
0
2
…