数学九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教课ppt课件

这是一份数学九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教课ppt课件，共20页。PPT课件主要包含了学习目标，重点与难点，观察与思考，三个方程的共同点，一元二次方程的定义，一般形式，例题讲解，化一般形式的步骤，基础练习化一般形式，基础练习参考答案等内容，欢迎下载使用。
1. 了解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)3. 能正确指出二次项、一次项、常数项及对应系数4. 能将非标准形式化为一元二次方程的一般形式5. 经历从实际问题中抽象出方程的过程，体会数学建模思想
一元二次方程的概念及一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)
从实际问题中建立方程及对 a≠0 限制条件的理解
情境引入：雕像与黄金分割
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。
设雕像全身长 5 m，腰部以下 BC = x m则腰部以上 AC = (5 - x) m等量关系：AC : BC = BC : 5即 BC² = 5AC，代入得 x² = 5(5 - x)整理得：x² + 5x - 25 = 0 ①
方程 ① 与我们学过的一元一次方程有什么不同？
x² + 5x - 25 = 0
只含有一个未知数 x未知数 x 的最高次数是 2→ 这样的方程叫作一元二次方程
实际问题1：制作无盖方盒
有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。在四角各切去一个同样大小的正方形，将四周折起制作无盖方盒。若底面积为3600cm²，各角应切去边长为多少的正方形？
设切去正方形边长为 x cm盒底长 = (100 - 2x) cm，宽 = (50 - 2x) cm由底面积 = 3600，列方程：(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600展开整理得：x² - 75x + 350 = 0 ②
实际问题2：排球邀请赛
组织排球邀请赛，赛制为单循环（每两支球队之间比赛1场）。计划7天，每天4场，应邀请多少支球队？
① x² + 5x - 25 = 0
② x² - 75x + 350 = 0
③ x² - x - 56 = 0
思考：这三个方程有什么共同点？
只含有一个未知数含有未知数的式子都是整式未知数的最高次数是 2
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
ax² —— 二次项，a 为二次项系数bx —— 一次项，b 为一次项系数c —— 常数项
关键问题：为什么规定 a ≠ 0？
如果 a = 0，方程会变成什么？
a = 0 → 方程变为 bx + c = 0
bx + c = 0 是一元一次方程（最高次数为1）不再是“二次”方程因此 a ≠ 0 是保证方程为一元二次方程的前提注意：b 和 c 可以为 0
一元二次方程的解（根）
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
如：方程 x² - x - 56 = 0当 x = 8 时：64 - 8 - 56 = 0∴ x = 8 是方程的根
将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号，得3x² - 3x = 5x + 10移项，合并同类项，得一般形式：3x² - 8x - 10 = 0二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10
移项（所有项移到左边）
注意：系数要连同符号一起写出
把下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 5x² - 1 = 4x
(2) 4x² = 81
(3) 4x(x + 2) = 25
(4) (3x - 2)(x + 1) = 5x - 2
(1) 5x² - 4x - 1 = 0，a=5, b=-4, c=-1
(2) 4x² - 81 = 0，a=4, b=0, c=-81
(3) 4x² + 8x - 25 = 0，a=4, b=8, c=-25
(4) 3x² - 4x - 4 = 0，a=3, b=-4, c=-4
根据下列问题，列出一元二次方程并化为一般形式：
(1) 4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长
设边长为 x，则 4x² = 25 → 4x² - 25 = 0
(2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长
设长为 x，则 x(x - 2) = 100 → x² - 2x - 100 = 0
拓展练习：字母系数讨论
已知关于 x 的方程 (m² - 4)x² + (m - 2)x + 3 = 0
(1) 当 m 为何值时，它是一元二次方程？需 m² - 4 ≠ 0，即 m ≠ ±2(2) 当 m 为何值时，它是一元一次方程？需 m² - 4 = 0 且 m - 2 ≠ 0即 m = -2
一元二次方程的三个特征 ① 一个未知数 ② 整式 ③ 最高次数为2一般形式 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)建模过程 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化简