初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.3 二次函数与一元二次方程精品第3课时课后练习题

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本课核心问题
怎样从二次函数的图象读出（并估计）一元二次方程的根？怎样把'函数值能否取到某个数'变成方程有没有根？
一、学习目标
1. 理解二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根
2. 掌握公共点个数与方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实数根）的一一对应，并能用根的判别式判断公共点个数
3. 会把二次函数问题转化为一元二次方程问题（如高度能否达到某值），也会把方程问题转化为函数图象问题，画出图象估计根的近似值
4. 会用'取平均数'的方法不断缩小根所在的范围，得到满足精度要求的近似根
二、重点
• 抛物线与x轴公共点的横坐标即一元二次方程的根；公共点个数与根的情况一一对应
• 判别式 Δ=b²-4ac 判断公共点个数；二次函数问题与一元二次方程问题的双向转化
三、难点
• 由函数图象求根的近似值，并用'取平均数'的方法控制误差（区间长度小于0.1）
• 辨析'有一个公共点对应两个相等的实数根'、'没有实数根≠没有根'等易错边界
学习支架
教材图26.3-1：y=x²+x-2，y=x²-8x+16，y=x²-x+1
例1：y=x²+2x-3 的图象
公共点个数与方程根的对应关系
根的判别式
例3：y=x²-2x-1 的图象
用'取平均数'的方法缩小根所在的范围
1. 画图或算函数值，找到两端函数值异号的区间 (a,b)
2. 验证 f(a) 与 f(b) 异号，说明根在 (a,b) 内
3. 取中点 c=(a+b)2，算 f(c)
4. 比较符号，把根圈进一半区间
5. 重复直到区间长度小于要求的精度，取区间端点或中点作近似根
四、知识要点
1. 公共点的横坐标就是方程的根
本课核心问题：怎样从二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况？观察教材图26.3-1 中的三条抛物线：(1) 抛物线 y=x²+x-2 与x轴有两个公共点，横坐标分别是 -2 和 1；当 x 取 -2 或 1 时，函数值都是 0。(2) 抛物线 y=x²-8x+16 与x轴只有一个公共点，横坐标是 4；当 x=4 时，函数值为 0。(3) 抛物线 y=x²-x+1 与x轴没有公共点。关键结论：如果抛物线 y=ax²+bx+c 与x轴有公共点，且公共点的横坐标是 x0，那么当 x=x0 时函数值 y=0，所以 x0 就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根。注意：找方程的根，就是看图象与x轴（即 y=0 这条线）公共点的横坐标——不是看公共点的纵坐标。公共点是形如 (x0,0) 的点，其中横坐标 x0 是根，纵坐标一定是 0。
2. 公共点的三种情况与根的三种情况一一对应
一般地，二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与x轴的公共点情况只有三种，与一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的情况一一对应：· 有两个公共点，对应方程有两个不相等的实数根；· 有一个公共点（抛物线与x轴相切），对应方程有两个相等的实数根；· 没有公共点，对应方程没有实数根。反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况。易错辨析：(1) “有一个公共点”不能说成“方程只有一个实数根”，只能说“有两个相等的实数根”——说根的个数按重数计，两个相等的实数根仍然算两个。(2) “没有实数根”是实数范围内的结论，图象与x轴没有公共点，只说明方程没有实数根，不是“没有根”。(3) 公共点的个数对应根的“个数情况”，而公共点的横坐标才对应“具体的根”，两者不要混淆。
3. 用根的判别式判断公共点个数
一元二次方程根的判别式 Δ=b2−4ac 可以直接决定抛物线与x轴的公共点个数：· Δ>0：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个公共点；· Δ=0：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个公共点；· Δ0，所以抛物线与x轴有两个公共点。解方程：(x-5)(x+1)=0，得 x1=5，x2=−1，公共点坐标为 (5,0) 和 (-1,0)。“令 y=0 列方程”是把函数问题转化为方程问题的关键一步，也是本课最常用的转化路径：先由判别式定个数，再解方程定坐标。
4. 二次函数问题转化为一元二次方程
根据二次函数与一元二次方程的联系，可以把二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题。教材例1：以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线。飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t²。小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？分析：“高度能否达到 20 m”就是问“二次函数 h=20t-5t² 的函数值能否取 20”，即方程 20=20t-5t² 有没有实数根。解：当 h=20 时，列得 20=20t-5t²，即 t²-4t+4=0，即 (t-2)²=0，解得 t1=t2=2。所以当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度恰好达到 20 m。追问（教材练习）：· 高度能否达到 15 m？能。方程 t²-4t+3=0 有两个不相等的实数根 t=1 和 t=3，小球在第 1 s 和第 3 s 时高度都是 15 m。· 高度能否达到 20.5 m？不能。方程 t²-4t+4.1=0 的判别式 Δ=16-16.4=-0.40，解得 m0
1个（相切）
两个相等的实数根
Δ=0
0个
没有实数根
Δ