初中人教版（2024）25.3 实际问题与一元二次方程精品第3课时课时作业

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本课核心问题
怎样把一个实际问题“翻译”成一元二次方程，并判断解出的两个根哪个可信？
一、学习目标
1. 能把实际问题中的等量关系列为一元二次方程，并按“审题、设元、列方程、解方程、检验、作答”的步骤完整解决
2. 能根据实际意义检验方程的两个根，正确舍去不符合题意的根
3. 能识别增长率（下降率）、传染传播、比赛场次等典型模型，并列出相应的方程
二、重点
• 列一元二次方程解实际问题的一般步骤
• 根据实际意义对方程的两个根进行取舍
三、难点
• 根的合理性检验：两根都满足方程时，可能对应同一个对象（例2），也可能对应两个不同位置（矩形内直角），还可能没有整数解（探究3）
学习支架
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
1. 审题：弄清已知量与未知量，找出全部数量关系
2. 设元：设未知数 x
3. 列方程：把等量关系写成方程
4. 解方程：求出两个根
5. 检验并作答：舍去不合题意的根，写出带单位的答案
连续正整数直角三角形示意图（3，4，5）
40m 细绳围成的矩形示意图（8m×12m）
例2的不同设法比较
传染轮次人数变化表（每轮平均 1 人传染 10 人）
两种食品成本变化对比表
四、知识要点
1. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤
列一元二次方程解实际问题，与列一元一次方程一样，一般按以下步骤进行：① 审题：弄清已知量与未知量，找出题中的全部数量关系；② 设元：根据题意设未知数 x，注意设元要便于表示其他量；③ 找等量关系：把题意“翻译”成含 x 的等式；④ 列方程：整理成 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；⑤ 解方程：用配方法、公式法或因式分解法求出两个根；⑥ 检验并作答：把每个根代回实际问题检验，舍去不符合实际意义的根，再写出带单位的答案。关键结论：一元二次方程是刻画某些问题中等量关系的数学模型；同一个问题可以有多种设法，所列方程不同，但对应的实际结果相同。
2. 根的检验与取舍
方程解出的两个根，必须接受“实际意义”的检验：① 取值约束：如边长、人数、支数、队数必须为正数，负数根一般舍去；② 过程约束：平均下降率 x 必须满足 1−x>0，平均增长率 x 必须满足 1+x>0；③ 整数约束：人数、球队数、多边形边数必须为正整数；④ “两个根都合理”不代表有两个不同答案：如例2中 x=12 与 x=8 对应同一个矩形（只是长与宽互换），实际问题只有一种结果。关键结论：“不符合题意，舍去”舍去的是方程的根，而不是问题本身；检验必须结合问题背景，不能只代回方程。
3. 几何问题中的一元二次方程
几何图形中的等量关系常来自勾股定理、周长与面积。例1：三个连续正整数可设为 x,x+1,x+2，由勾股定理得 x2+(x+1)2=(x+2)2，解得 x=3，三边为 3，4，5；例2：周长 40m 的矩形，设一边为 x，邻边为 20−x，由面积得 x(20−x)=96。同一问题可以换元：例2还可设邻边为 96x（由面积表示），列方程 2(x+96x)=40；也可设两边为 10+x 与 10−x，列 (10+x)(10−x)=96。设法不同，方程不同，解出的是同一个矩形。关键结论：设元的目标是让等量关系最好写；必要时画出示意图帮助寻找数量关系。
4. 传染（传播）问题模型
传染问题的数量结构：开始有 1 人被传染，每轮平均 1 人传染 x 人，则
第一轮后共有 1+x 人被传染；第二轮中，这 1+x 人每人又传染 x 人，新增 x(1+x) 人，两轮后共 1+x+x(1+x) 人，即 (1+x)2 人。列方程 1+x+x(1+x)=121，得 x=10（x=−12 不合题意，舍去）。推广：开始有 a 人，每轮平均 1 人传染 x 人，经过 n 轮后共 a(1+x)n 人。关键结论：每轮结束后人数按 (1+x) 倍增长；第二轮新增人数为 x(1+x)，最易漏写；最初被传染的人也要计入总数。
5. 平均增长（下降）率问题模型
某量原来为 a，平均每次增长率为 x，则一次后为 a(1+x)，两次后为 a(1+x)2；平均每次下降率为 x，则两次后为 a(1−x)2。探究2中：甲种食品 10000(1−x)2=6000，得 x≈0.225，即约 22.5%；乙种食品 12000(1−x)2=7200，同样得 x≈22.5%。注意区分：年平均下降额（元）与年平均下降率（百分数）是两个不同概念——乙的下降额（2400 元）大于甲（2000 元），但两者的下降率相同。关键结论：比较几个对象的变化快慢，应比较变化率而不是绝对变化额；下降率必须满足 1−x>0，即下降率不超过 100%。
6. 比赛场次与计数模型
比赛与计数问题常归结为如下模型：① 单循环（每两队之间赛 1 场）：n 支球队共赛 n(n−1)2 场，如排球邀请赛列得 x2−x−56=0，解得 x=8；② 双循环（每两队之间赛 2 场）：n 支球队共赛 n(n−1) 场，如探究3中 n(n−1)=300；③ 凸 n 边形对角线：n(n−3)2 条。场次数、队数、边数都必须是正整数。若方程的解不是整数——如探究3解得 n=1±12012，因为 1201 不是完全平方数，1201 不是整数，n 不可能是整数——说明假设不成立。关键结论：把“每两队之间比赛1场”等语言翻译成代数式是建模的关键；判断存在性可以解方程看解是否为整数，也可以直接检查两个连续整数的乘积能否取到该值。
五、典型例题
【例1】
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
【解答】设三边长分别为 x,x+1,x+2（x 为正整数）。由勾股定理（斜边为 x+2），得
x2+(x+1)2=(x+2)2
x2+x2+2x+1=x2+4x+4
x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=3 或 x=−1
检验：x=−1 不是正整数，不符合题意，舍去；x=3 时，三边为 3，4，5。答：存在，且这样的三角形只有一个，三边长分别为 3，4，5。
【点拨】连续整数设元时，把最大的数设为 x+2，斜边对应最长边；勾股定理的等量关系是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”；求出的根必须回到“正整数”这个条件检验。
【例2】
用一根长为 40m 的细绳，能否围成一个面积为 96m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
【解答】设矩形一边长为 x m，则邻边长为 (20−x) m。由面积为 96m²，得
x(20−x)=96
20x−x2=96
x2−20x+96=0
(x−12)(x−8)=0
x1=12,x2=8
检验：两个根都是正数且都小于 20，都符合题意；当 x=12 时邻边为 8，当 x=8 时邻边为 12，两者是同一个矩形（只是长与宽互换），所以围成的矩形是唯一的，并不存在两个不同的矩形。答：能围成，这样的矩形唯一，两邻边长分别为 8m 和 12m。
【点拨】“两个根都满足方程、都符合正数约束”，但它们对应同一个实际对象——这是“两个根不一定是两个答案”的典型例子。换设法：设一边为 x，邻边为 96x，列方程 2(x+96x)=40，解出的仍是同一个矩形。
【例3】
某种传染病的传染速度很快。如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？
【解答】设每轮传染中平均 1 个人传染 x 个人。第一轮后共有 1+x 人被传染；第二轮中，这 1+x 人每人又传染 x 人，新增 x(1+x) 人，两轮后共有 1+x+x(1+x) 人。列方程：1+x+x(1+x)=121
(1+x)2=121
1+x=±11
x=10 或 x=−12
检验：人数不能为负数，x=−12 不符合题意，舍去。答：每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人。追问：第三轮后共有 121+121×10=1331（人）被传染，可见传播速度之快，阻断传染源十分必要。
【点拨】第二轮的人数＝第一轮人数×(1+x)；把“第二轮新增人数”写成 x(1+x) 是最容易漏的一步。方程可化为 (1+x)2=121，用直接开平方求解。
【例4】
两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元。随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？
【解答】甲：设年平均下降率为 x，则
10000(1−x)2=6000
(1−x)2=0.6
1−x≈0.7746（取正值，因为下降率应小于 1）
x≈0.2254≈22.5%
乙：设年平均下降率为 y，则
12000(1−y)2=7200
(1−y)2=0.6
y≈0.2254≈22.5%
比较：甲的年平均下降额为 (10000−6000)2=2000（元），乙的为 (12000−7200)2=2400（元），乙的下降额较大；但两种食品的年平均下降率相同，都约为 22.5%。答：两种食品成本的年平均下降率相同，均约为 22.5%；下降额大的对象，下降率不一定大，比较变化快慢应看下降率（百分数）。
【点拨】方程 (1−x)2=0.6 开平方得 1−x=±√0.6，取 1−x=√0.6 是因为成本下降后仍为正，即 1−x>0（下降率小于 100%）；1−x=−√0.6 对应 x≈177.5%，不合题意，舍去。
【例5】
若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，他算出总场数正好是 300。他算得对吗？为什么？
【解答】双循环比赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛，n 支球队的总场数为 n(n−1)。假设总场数为 300，则
n(n−1)=300
n2−n−300=0
n=1±1+12002=1±12012
由于 1201 不是完全平方数，1201 不是整数，所以 n 不可能是整数，与“队数 n 必须是正整数”矛盾。答：总场数不可能为 300，这个人算得不对。另解：n(n−1) 必为两个连续正整数的乘积，而 16×17=272，17×18=306，300 介于两者之间，不可能是这样的乘积。
【点拨】判断存在性有两条路径：一是解方程看解是否为整数，二是直接检查两个连续整数的乘积能否取到该值；“队数 n 为正整数”是隐含条件。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 一个长方形的周长为 30m，面积为 54m²。设长为 x m，则宽为（________）m，列方程为（________）。
2. 某种细菌繁殖速度很快，开始有 2 个细菌，每经过 1 小时，每个细菌又分裂出 x 个新细菌。用含 x 的式子表示：2 小时后共有（________）个细菌。
3. 某商品原价为 100 元，连续两次降价（每次降价的百分率相同）后售价为 81 元。设平均每次降价率为 x，则列方程为（________），平均每次降价率为（________）。
4. n 支球队进行单循环比赛（每两支球队之间比赛 1 场），共比赛（________）场。
5. 解实际问题列出的方程，解出的两个根都要作为最终答案。（ ）
6. 甲、乙两种商品的平均年下降额分别为 2000 元和 2400 元，则乙的平均年下降率一定大于甲。（ ）
7. 解方程 x(x−5)=24，并检验：若 x 表示直角三角形的直角边长，两个根都应保留吗？
8. 解方程 50(1+x)2=72，并回答：若 x 表示某工厂产量的月平均增长率，应取哪个根？
9. 解方程 x2−16x+60=0。若 x 表示用一根长为 32m 的细绳围成的矩形的一边长，两个根都符合题意吗？这样的矩形有几种围法？
★★ 能力提升
10. 某农机厂一月份生产农机 50 台，预计第一季度（三个月）共生产 350 台。设二、三月份产量的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（________）。
A. 50(1+x)2=350
B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=350
C. 50(1+x)+50(1+x)2=350
D. 50+50x+50x2=350
11. 一个直角三角形的两条直角边相差 7cm，斜边长为 13cm，求两条直角边的长。
12. 某学校有一块长 32m、宽 20m 的矩形空地，计划在中间修一块矩形草坪，四周留出等宽的通道，要使草坪面积为 540m²。求通道的宽度。
13. 某商品原价为 200 元，连续两次降价（每次降价的百分率相同）后售价为 162 元。求平均每次降价的百分率。
14. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2，CD=6，点 E 在边 AB 上。是否存在点 E，使 ∠DEC 为直角？若存在，求 AE 的长；若不存在，请说明理由。
矩形 ABCD（AD=2，CD=6）
15. 某种电脑病毒传播速度很快，如果 1 台电脑被感染，经过两轮感染后共有 81 台电脑被感染（包括最初感染的那 1 台），那么每轮感染中平均 1 台电脑感染了多少台？
★★★ 拓展延伸
16. 某市举办校园足球联赛，采用主客场双循环赛制（每两支球队之间比赛 2 场）。（1）若组织者统计出总场数为 132 场，共有多少支球队参赛？（2）若有人声称总场数为 100 场，他算得对吗？为什么？
17. 一个凸多边形共有 35 条对角线。（1）它是几边形？（2）是否存在共有 25 条对角线的多边形？若存在，指出它是几边形；若不存在，请说明理由。
18. 某商店以每件 40 元的价格购进一批商品，按每件 50 元出售时，每周可售出 500 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，每周的销量就减少 10 件。要使每周获得利润 8000 元，售价应定为多少元？
参 考 答 案
第1题：（15−x）；x(15−x)=54
【解析】矩形周长＝2(长+宽)，所以长+宽=15；再以面积为等量关系列方程。方程解为 x=6 或 9，即长 9m、宽 6m。
第2题：2(1+x)2
【解析】每小时细菌总数变为原来的 (1+x) 倍，2 小时后为 2(1+x)2。这与传染问题同构：总数为初始数×(1+x)的轮次次方。
第3题：100(1−x)2=81；10%
【解析】两次降价后价格为 100(1−x)2，得 (1−x)2=0.81，1−x=0.9，故 x=0.1=10%。
第4题：n(n−1)2
【解析】每支球队要与其余 n−1 支队各赛 1 场，共 n(n−1) 场，但每场比赛被两队各数了一次，所以总场数为 n(n−1)2。
第5题：×
【解析】必须检验每个根是否符合实际意义（如正数、整数、小于某个限定值），不符合题意的根要舍去。[错因:理解]
第6题：×
【解析】下降率＝下降额÷原成本，与各自的原价有关。若原价分别为 10000 元和 12000 元，两者的下降率都约为 22.5%，相等。[错因:概念]
第7题：x1=8,x2=−3。若 x 表示边长，边长必须为正，−3 不符合题意，舍去，取 x=8。
【解析】展开得 x2−5x−24=0，因式分解得 (x−8)(x+3)=0，x=8 或 −3。检验时先看方程，再看题意：边长不能为负。
第8题：x1=0.2,x2=−2.2。若 x 表示增长率，必须满足 1+x>0，−2.2 不符合题意，舍去，取 x=0.2，即 20%。
【解析】(1+x)2=1.44，1+x=±1.2，x=0.2 或 −2.2。增长率不能小于 −100%，故舍去 −2.2。
第9题：x1=6,x2=10。两个根都是正数且都小于 16，都符合题意；但 x=6 时邻边为 10，x=10 时邻边为 6，对应同一个矩形，围法只有 1 种。
【解析】(x−6)(x−10)=0，x=6 或 10。两个根对应同一个矩形（长宽互换），这是“两个根不等于两个答案”的再确认。
第10题：B
【解析】一、二、三月份的产量分别为 50、50(1+x)、50(1+x)2，三者之和为 350。A 只算了三月份，C 漏了一月份，D 把增长率误当成直接乘的系数。[错因:建模]
第11题：设较短的直角边为 x cm，则另一条直角边为 (x+7) cm。由勾股定理：x2+(x+7)2=132
x2+x2+14x+49=169
x2+7x−60=0
(x+12)(x−5)=0
x=5 或 x=−12
边长必须为正，x=−12 不符合题意，舍去。答：两条直角边分别为 5cm 和 12cm。
【解析】以“两条直角边的平方和等于斜边的平方”为等量关系列方程；根的取舍看“边长必须为正”。本题体现方程思想与转化化归思想。
第12题：设通道宽为 x m，则草坪的长为 (32−2x) m，宽为 (20−2x) m。(32−2x)(20−2x)=540
640−104x+4x2=540
x2−26x+25=0
(x−1)(x−25)=0
x=1 或 x=25
检验：x=25 时，20−2x=−30