初中数学24.2 解一元二次方程精品第2课时达标测试

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本课核心问题
面对一个一元二次方程,怎样选择最合适的解法?配方法、公式法、因式分解法之间有什么联系?
一、学习目标
1. 能根据平方根的意义解形如 x²=a(a≥0) 的方程,并说出"降次"的含义
2. 能用配方法解二次项系数为1或不为1的一元二次方程,完整写出移项、配方、开平方、得根的过程
3. 能计算根的判别式 b²-4ac 并判断根的情况,能用公式法解数字系数的一元二次方程
4. 能用因式分解法解一边为0、另一边可分解因式的方程,并能根据方程特点选择适当的方法
二、重点
• 配方法:移项、两边同加一次项系数一半的平方、化为 (x+m)²=n 后开平方
• 根的判别式 b²-4ac 与求根公式 x=(−b±b2−4ac)(2a)
• 因式分解法:先移项使一边为0,再用 ab=0 原理降次
三、难点
• 配方时正确添加常数(一次项系数一半的平方)并保证等式两边同时变形
• 面对具体方程,根据结构选择最简便的解法
学习支架
配方法的一般步骤
1. 移项,把常数项移到等号右边
2. 若二次项系数不为1,先用等式性质化为1
3. 两边同加一次项系数一半的平方
4. 写成 (x+m)²=n(n≥0) 的形式
5. 两边开平方,得 x+m=±n
6. 解两个一元一次方程,代回检验并写出根
根的判别式与根的情况
求根公式
三种解法对比
方程 x²=4 与 (x+1)²=4 的根在数轴上的位置
四、知识要点
1. 直接开平方法与降次思想
根据平方根的意义,如果 x²=a(a≥0),那么 x=±a。因此,能化成 x²=a(a≥0) 形式的方程,可以直接开平方求出两个根。例如:x²=4 的根是 x=2 和 x=-2(不要漏掉负根)。解一元二次方程的基本思路是降次:把一元二次方程转化为两个一元一次方程,分别求解。配方法、公式法、因式分解法都是实现降次的手段。
2. 配方法
通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方、另一边为常数的形式;当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。二次项系数为1时,配方的一般步骤:
第一步,移项:把常数项移到等号右边;
第二步,配方:两边同时加上一次项系数一半的平方,使左边成为完全平方式;
第三步,开平方:写成 (x+m)²=n(n≥0) 的形式后,两边开平方,得 x+m=±n;
第四步,得根:分别解两个一元一次方程,写出两个根。若二次项系数不是1,先用等式性质把系数化为1,再按上述步骤配方。
3. 根的判别式
对于一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0),把 b²-4ac 叫作根的判别式,常用 Δ 表示。当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根;
当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根;
当 Δ0,方程有两个不相等的实数根。代入求根公式,得 x=(−b±Δ)(2a)=(3±17)(2×2)=(3±17)4。所以 x1=(3+17)4,x2=(3−17)4。(2)这里 a=1,b=-2,c=3。Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×3=4-12=-80 有两个不相等的实数根,Δ=0 有两个相等的实数根,Δ