数学九年级上册（2024）28.1 图形的旋转优秀第1课时练习题

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本课核心问题
怎样准确描述一个图形的旋转，并画出它旋转后的图形？
一、学习目标
1. 认识图形的旋转、旋转中心、旋转角和对应点，能指出实际旋转实例中的三个要素
2. 理解并掌握旋转的性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段所成的角等于旋转角
3. 能利用旋转的性质求旋转角、相关角度和线段长度，并会画出三角形、正方形等简单图形旋转后的图形
二、重点
• 旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
• 旋转的性质及其在求角、求边、画图中的应用
三、难点
• 利用旋转的性质确定关键点的对应点位置，画出旋转后的图形（如正方形中的部分图形旋转）
学习支架
旋转的性质：△ABC绕点O旋转90°，对应点到旋转中心距离相等，所成角等于旋转角
例2：将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，∠BCA′=100°
例3：正方形ABCD中，E是CD边上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°
旋转中心与旋转角对旋转效果的影响
画旋转后的图形的一般步骤
1. 确定旋转中心、旋转角和旋转方向
2. 画出各关键点（如顶点）的对应点：到旋转中心距离相等，且所连线段所成的角等于旋转角
3. 连接对应点，得到旋转后的图形
四、知识要点
1. 图形的旋转与三要素
核心问题：怎样准确描述一个图形的旋转，并画出它旋转后的图形？让我们带着这个问题开始学习。把钟表的指针、风车的叶片、船舵的舵柄看作平面图形，它们都在平面内围绕着一个点转动。把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，转动的方向（顺时针或逆时针）叫作旋转方向。图形旋转时，如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么点P与点P′叫作这个旋转的对应点。例如，钟表指针从3时转到5时，表盘中心是旋转中心，时针转动的角度是60°（时针每走1小时转过30°），3时的针尖P与5时的针尖P′就是一组对应点。关键结论：描述一次旋转必须说清三个要素——旋转中心、旋转角、旋转方向，缺一不可。易错点：只说“把图形旋转90°”不能确定图形旋转后的位置，还必须指出绕哪一点旋转、向哪个方向旋转。
2. 旋转的性质
利用硬纸板操作探究：在硬纸板上挖一个三角形洞并扎一个小孔作旋转中心，绕孔转动后描出三角形，可以发现OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′，且∠AOA′=∠BOB′=∠COC′。一般地，旋转具有如下性质：① 旋转前后图形的形状、大小都不变，旋转前后的两个图形全等；② 对应点到旋转中心的距离相等；③ 对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。这三条性质是求旋转角、求线段长度和画旋转图形的基本依据。易错点：旋转角是“对应点与旋转中心所连线段所成的角”，不是“两个对应点之间连线所成的角”。例如△ABC绕点C旋转，旋转角是∠ACA′或∠BCB′，而不是对应点连线之间的角。
3. 画旋转后的图形（关键点法）
与平移、轴对称类似，画一个图形旋转后的图形，关键是确定这个图形上关键点的对应点。对于三角形、矩形等规则图形，只要画出几个顶点（关键点）的对应点，再连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形。作图步骤：①确定旋转中心、旋转角和旋转方向；②分别作出各关键点的对应点；③连接对应点，画出旋转后的图形。确定一个点的对应点，常用两个依据：一是对应点到旋转中心的距离相等；二是对应点与旋转中心所连线段与原来的线段所成的角等于旋转角。如果旋转中心恰好在图形上（如以图形的顶点为旋转中心），那么这个点的对应点就是它本身。例如：在正方形ABCD中，E是CD边上一点，以点A为旋转中心把△ADE顺时针旋转90°。因为AD=AB且∠DAB=90°，所以点D的对应点恰是点B；又因为旋转前后图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°且BE′=DE，于是只需在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，连接AE′、BE′，△ABE′就是旋转后的图形。易错点：画图时漏画旋转中心这个点的对应点（它的对应点是它本身），或者只用“距离相等”不用“所成角等于旋转角”，导致对应点位置不唯一。
4. 旋转中心与旋转角决定旋转效果
同一个图案，选择不同的旋转中心、不同的旋转角，旋转后会得到不同的效果：① 旋转中心不变，旋转角改变：旋转后的图形位置不同（转动的幅度不同），但形状、大小不变；② 旋转角不变，旋转中心改变：图形绕不同的点转动，旋转后的位置也不同；③ 连续多次旋转可以设计出美丽的图案，如把一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到五角星。易错点：认为“旋转角相同，旋转后的图形位置就一定相同”，忽略了旋转中心的作用。旋转中心和旋转角共同决定旋转后图形的位置。
五、典型例题
【例1】
钟表的指针在不停地转动。从3时到5时，时针转动了多少度？请指出这次旋转的旋转中心和旋转角，并说明理由。
【解答】时针每走1小时，转过360°÷12=30°。从3时到5时经过2小时，所以时针转动的角度为30°×2=60°。这次旋转的旋转中心是表盘的中心，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向；3时的时针端点P与5时的时针端点P′是一组对应点，设O为表盘中心，则∠POP′=60°。
【点拨】钟面上每相邻两个整点时刻之间，时针转过30°；求旋转角时，先找准旋转中心和旋转方向，再计算转动的角度。
【例2】
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C。若∠BCA′=100°，求∠B′CA的度数。
△ABC 绕点 C 顺时针旋转 35° 得到 △A′B′C
【解答】由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角，所以∠BCB′=∠ACA′=35°。由图可知，∠BCA′=∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′。所以∠B′CA=∠BCA′−∠BCB′−∠ACA′=100°−35°−35°=30°。答：∠B′CA的度数为30°。
【点拨】求与旋转有关的角时，先把旋转角标在图上，再把目标角表示为几个已知角的和或差。注意旋转角在图中出现两处：∠BCB′和∠ACA′都等于旋转角。
【例3】
如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点。以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形，并说明你这样画的依据。
正方形 ABCD 中 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°
【解答】因为点A是旋转中心，所以点A的对应点是它本身。在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，旋转角为90°，所以点D的对应点是点B（点D与点B重合）。设点E的对应点为E′。因为旋转前后的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′=DE。因此在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，连接AE′、BE′，则△ABE′就是△ADE旋转后的图形。检验：AE′=AE（对应点到旋转中心距离相等），∠EAE′=90°（所成角等于旋转角），作图正确。
【点拨】画图的关键是确定三个顶点的对应点：旋转中心的对应点是它本身；再利用“距离相等、所成角等于旋转角、图形全等”确定其余对应点。还可以想一想：有其他方法确定旋转后的图形吗？
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 描述一次图形的旋转，需要指出旋转中心、（________）和旋转方向这三个要素。
2. 钟表的时针从2时走到5时，时针绕表盘中心旋转了（________）°。
3. 图形旋转时，如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么点P与点P′叫作这个旋转的（________）。
4. 旋转前后两个图形全等。（ ）
5. 只要知道旋转角是90°，就能确定图形旋转后的位置。（ ）
6. 将△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C。若∠BCA′=120°，则∠B′CA=（________）°。
7. 图形旋转后，对应点到旋转中心的距离（________）；对应点与旋转中心所连线段所成的角（________）旋转角。
8. 画三角形旋转后的图形时，一般先画出它的三个（________）的对应点，再连接这些对应点，就得到旋转后的图形。
★★ 能力提升
9. 下列有关旋转的说法中，正确的是（________）。
A. 旋转中心一定在图形的内部
B. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小
C. 旋转角是指任意一组对应点所连线段的夹角
D. 图形绕旋转中心转动的角度只能小于90°
10. 如图，在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB。以点A为旋转中心，把正方形绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点是（________）。
A. 点C B. 点D
C. 点A D. 点B
11. 如图，在方格纸上，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C′。
12. 如图，每个小方格的边长均为1。△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)。画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的图形△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标。
13. 在方格纸上，一个图形绕点O连续旋转，每次旋转45°。至少要旋转多少次，图形才能第一次回到原来的位置？请说明理由。
★★★ 拓展延伸
14. 如图，△ABC是等边三角形，点O在△ABC内部。将△ABO绕点A顺时针旋转60°，得到△ACD（点B的对应点是点C，点O的对应点是点D）。已知AO=6，BO=5。(1) 求AD和CD的长；(2) 求∠OAD的度数，并判断△AOD的形状；(3) 求OD的长。
15. 利用旋转设计一个美丽的图案。要求：先选择一个基本图形（如线段、三角形、正方形），确定旋转中心和旋转角，通过多次旋转得到图案。请写出你的设计过程，并说明：改变旋转角或改变旋转中心，对最终图案有什么影响？
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4。将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点B的对应点是点A，点A的对应点是点D。求AD的长和∠ADB的度数。
参 考 答 案
第1题：旋转角
【解析】旋转由旋转中心、旋转角和旋转方向三个要素共同决定，缺一不可。
第2题：90°
【解析】时针走1小时转过30°（360°÷12=30°），从2时到5时经过3小时，所以转过30°×3=90°。表盘中心就是旋转中心。
第3题：对应点
【解析】旋转前的点与旋转后得到的点互称对应点，旋转的性质正是描述对应点之间的关系。
第4题：√
【解析】旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以旋转前后的图形全等。
第5题：×
【解析】旋转后图形的位置由旋转中心、旋转角和旋转方向共同决定，只知旋转角无法确定位置。[错因:概念]
第6题：40°
【解析】由旋转性质，∠BCB′=∠ACA′=40°。又∠BCA′=∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′，所以∠B′CA=120°−40°−40°=40°。
第7题：相等；等于
【解析】这就是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角。
第8题：顶点
【解析】对三角形等规则图形，顶点就是关键点，画出关键点的对应点并连接即可。[错因:方法]
第9题：B
【解析】A错：旋转中心可以在图形内部、边上或外部；B对：旋转前后图形全等，只改变位置；C错：旋转角是“对应点与旋转中心所连线段所成的角”，不是对应点连线的夹角；D错：旋转角可以是大于90°甚至大于180°的任意角度。[错因:概念]
第10题：B
【解析】逆时针旋转90°时，AB边转到与AD边重合的位置（因为∠DAB=90°且AB=AD），所以点B的对应点是点D。[错因:方法]
第11题：作法：连接OA、OB、OC。作OA′⊥OA，且OA′=OA（顺时针方向）；作OB′⊥OB，且OB′=OB；作OC′⊥OC，且OC′=OC。连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′就是△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。在方格纸上，点A′、B′、C′分别落在格点(1,−2)、(1,−5)、(4,−3)处。
【解析】作一个点的对应点用两条依据：对应点到旋转中心距离相等（OA′=OA），对应点与旋转中心连线所成角等于旋转角（∠AOA′=90°）。三个顶点确定后，连接即得旋转后的图形，旋转前后图形全等。
第12题：作图：分别作出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A′(2,−1)、B′(1,−3)、C′(4,−2)，连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′为所求。
【解析】在方格纸上，对每个点作OA′⊥OA且OA′=OA（顺时针方向）：点A(1,2)的对应点落在格点(2,−1)处，同理得B′(1,−3)、C′(4,−2)。旋转前后的两个三角形全等，可用对应边检验作图是否正确。数形结合：把旋转的几何关系落实到坐标网格上。
第13题：至少要旋转8次。理由：图形旋转一周是360°，每次旋转45°，360°÷45°=8，所以旋转8次共转了360°，图形第一次回到原来的位置。
【解析】连续旋转的角度可以相加：45°×8=360°，正好一周。用除法把一周360°平均分成每份45°，得到旋转次数。
第14题：(1) 旋转前后的图形全等，所以AD=AO=6，CD=BO=5。(2) ∠OAD等于旋转角，即∠OAD=60°。在△AOD中，AD=AO=6，且∠OAD=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以△AOD是等边三角形。(3) 因为△AOD是等边三角形，所以OD=AD=AO=6。
【解析】本题把三角形内部的线段通过旋转集中到新图形中，体现转化化归思想。旋转前后图形全等，把线段AO、BO转移到AD、CD；又由旋转性质，∠OAD是OA与OD所连线段所成的角，等于旋转角60°，且AD=AO=6，于是△AOD是有60°角的等腰三角形，即为等边三角形，OD=6。综合运用旋转的性质与等边三角形的判定。[错因:方法]
第15题：示例：以正方形的一条对角线上的点O为旋转中心，把正方形绕点O每次旋转45°，连续旋转7次（连同原图形共8个位置），得到一个以O为中心的放射状图案。每次旋转后图形的位置都不同，但形状、大小不变。影响：旋转角决定图案的疏密——旋转角越小，一周内得到的图形越多，图案越密集；旋转中心决定整个图案的中心位置，旋转中心不同，图案的构图不同。
【解析】开放题，教师根据学生是否完整写明基本图形、旋转中心、旋转角、旋转次数四个要素，以及是否结合本课结论说明旋转角、旋转中心的作用来评判。数学思想：运动变换思想。可参考教材中“等腰三角形绕着它正下方的一点旋转得到五角星”的图案设计方法。
第16题：由旋转性质，旋转前后图形全等，所以CD=AC=4，∠ACD=∠ACB=90°。在Rt△ACD中，AC=CD=4，由勾股定理得AD=42。又因为旋转角为90°，射线CA旋转后落在射线CB的反向延长线上，所以D、C、B三点共线，∠ADB=∠ADC。在等腰直角三角形ACD中，∠ADC=45°，所以∠ADB=45°。
【解析】旋转把直角关系“搬运”到新位置：△ACD是等腰直角三角形。求∠ADB的关键是发现D、C、B三点共线——旋转角90°与∠ACB=90°叠加，射线CA与射线CB的反向延长线重合，从而把∠ADB转化为∠ADC。本题体现数形结合与转化化归思想。[错因:方法]变化方式
旋转后的位置
图形的形状与大小
旋转中心不变，旋转角改变
位置不同（转动的幅度不同）
不变
旋转角不变，旋转中心改变
位置不同（绕点不同）
不变