初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定课后复习题，共46页。试卷主要包含了3 矩形的性质与判定 三阶训练等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，点E为BC中点，点F为AE中点，DE=4，DF=362，则BC的长为（ ）.
A．10B．4C．23D．19
2．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB=6，BC=8，则DF=（ ）
A．2B．32C．1D．12
3．如图，在矩形ABCD中， AC为对角线， AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（ )若∠EAF=45°， AB=4， BC=3，则 AEDE的值为（ ）
A．5B．53C．52D．32
4． 如图， 在△ABC中，点D在AC上， CE⊥AB， BD与CE交于点O， 且BE=CD.小明思考后得出以下结论： ①若D是AC的中点， 则∠BDC=3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是( )
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确②错误D．①错误②正确
5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ )。
A．23B．22C．33D．32
6．如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN (①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°)．若EJ=5cm，JG=2cm，FJ=3cm，则四边形ILMN的周长是（ ）
A．24cmB．26cmC．22+25cmD．28cm
7．如图，矩形OABC中，点O0,0,AC=4,BO与x轴正半轴的夹角为45°．若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2026秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．2,−2B．−2,0C．0,2D．−2,2
8．如图，▱ABCD的对角线交于点O，M，N分别是边AD，BC的中点，连接AN，CM．下列结论：①四边形ANCM是平行四边形；②若AB=AC，则四边形ANCM是矩形；③若AB⊥AC，则四边形ANCM是菱形；④若AB⊥AC，AB=6，∠ABC=60°，则S四边形ANCM=83．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①④D．①②③④
二、填空题
9．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为 .
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30°，则HG的长为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,2，点B的坐标为3,0，连接AB．若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，则点A'的坐标为 ．
12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A 逆时针旋转90°得到点 D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A'D-C'D|的最大值为 。
三、解答题
13．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM=MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
14．如图，直线l1:y=−12x+b分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线l2:y=kx−3交于点C2,1．
（1）点A坐标为(________，________)．
（2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ADG=∠G，∠DAF=∠GEA，
又∵点F是AE的中点，
∴AF=FE，
∴△ADF≌△EGF，
∴GE=AD=BC=2x，DG=2DF=36，
∴CG=3x，
在Rt△GDC和Rt△DEC中，DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，即DC2=(36)2-(3x)2=42-x2，
解得x=192，
∴BC=2x=19，
故答案为：D.
【分析】延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，根据矩形的性质，利用AAS得到△ADF≌△EGF，即可得到GE=AD=BC=2x，DG=2DF=36，再在Rt△GDC和Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，求出x的值解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BD⟂AN,
∴∠ADB=90∘.
∵E是AB的中点，
∴ED是斜边AB上的中线，
∵AB=6,
∴ED=12AB=3.
∵E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 △ABC的中位线.
∴EF=12BC.
∵BC=8,
∴EF=4.
∴DF=EF−ED=4−3=1.
故选： C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，根据线段的和差解答即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠DAB=90°
∵AB=4，BC=3
∴AC=AB2+BC2=5
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°
∵AF平分∠CAB
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
作EG⊥AC于点G
设DE=x，则CE=4-x
∴ED=EG=x
∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE
∴Rt△AED≌Rt△AEG
∴AG=AD=3
∴CG=5-3=2
在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2
∴x2+22=(4-x)2
解得：x=32
∴AE=32+322=352
∴AEDE=35232=5
故答案为：A
【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①如图，连接DE，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵D是AC的中点，
∴DE=12AC=AD=CD，
∴∠AED=∠A，
∵BE=CD，
∴BE=DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠AED=∠ABD+∠BDE=2∠ABD，
∴∠A=2∠ABD，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=3∠ABD，故①正确；
②∵E为AB中点时，CE⊥AB，
∴CE是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
由题意，无法证明△ABC是等边三角形，故②错误；
综上，①正确②错误；
故选：C．
【分析】连接DE，根据斜边中线定理得到DE=12AC=AD=CD，得到∠AED=∠A，由BE=CD得到BE=DE，得到∠ABD=∠BDE，再利用三角形外角的性质即可判断①；根据垂直平分线的性质得到AC=BC，则△ABC是等腰三角形，可判断②，即可得出结论．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AF = BF， 即F为AB的中点， 又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
∴DE∥BC,DF=12BC,
又∠ADF =90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE， DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵BC=2,∴DF=12BC=1,
在Rt△ADF中， ∠A =30°， AF=BF=BC=2，
∴AD=AF2−DF3=3,
∴CD=AD=3,
则矩形BCDE的面积， S=CD⋅BC=23.
故答案为： A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥CB，DF=12BC，然后根据平行线得到∠C=90°，根据垂直得到∠CDE=∠E=90°，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：如图，
由题可知FJ=PM=PL=3cm，JG=GL=2cm，MQ=EJ=5cm，
设JI=xcm，则NQ=EI=EJ−JI=5−xcm，
∴NQ=EI=5−xcm，
∴矩形周长为=MN+ML+LI+NI=5−x+5+6+4+x+6=26cm．
故选：B．
【分析】
由旋转和平移的性质可得FJ=PM=PL，JG=JL，MQ=EJ，∠M=∠N=∠NIL=90°，则四边形ILMN是矩形，此时可设JI=x，则NQ=EI=5−x，ML=6、LI=4+x、NI=ML=6，再利用整式的加减运算求出周长即可．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OB=AC=4，OD=BD=2，
∵每秒旋转45°，8次一个循环，2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：
过点D'作D'E⊥x轴于点E，由旋转的性质可知：∠D'OE=45°，
∴OE=D'E=22OD'=2，
∴点D的坐标为−2,2．
【分析】
首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转45°，旋转一周为360°，因此每旋转 8 次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴AM∥NC
∵M，N分别是边AD，BC的中点
∴AM=MD=12AD，NC=BN=12BC
∴AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形，①正确
②∵AB=AC，N为BC的中点
∴AN为等腰三角形ABC底边上的中线
∴AN⊥BC
∴∠ANC=90°
由①可得，四边形ANCM是平行四边形
∴四边形ANCM为矩形，②正确
③∵AB⊥AC，N为BC的中点
∴AN=12BC=NC
∴四边形ANCM为菱形，③正确
④过点A作BC的垂线，垂足为E
∵AB⊥AC，AB=6，∠ABC=60°
∴∠ACB=30°
∴BC=2AB=8
∴AC=BC2−AB2=43
∵S△ABC=12BC·AE=12AB·AC
∴AE=AB·ACBC=23
∵N为BC的中点
∴CN=12BC=4
∴S四边形ANCM=NC·AE=83
故答案为： B
【分析】根据平行四边形判定定理及性质可判断①；根据等腰三角形三线合一性质可得∠ANC=90°，再根据矩形判定定理可判断②；根据直线角三角形斜边上的中线性质可得AN=12BC=NC，再根据菱形判定定理可判断③；过点A作BC的垂线，垂足为E，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积可得AE，再根据线段中点可得CN，再根据平行四边形面积可判断④.
9．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设AC、EF交于点O，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∵∠AEB=60°，
∴∠FAE=60°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO,EF⊥AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OF=OE，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AF=AE，
∵∠FAE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵AE=6，
∴EF=AE=6．
故答案为：6 .
【分析】设AC、EF交于点O，根据矩形的性质，利用ASA得到△AOF≌△COE，即可得到OE=OF，得到四边形AECF是菱形，进而可得△AEF是等边三角形，即可得到EF长解答即可．
10．【答案】233
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，
∴BE=4.
过H作HN∥AB，交AD于N.
∵H为DE中点，
∴HN是△ADE的中位线，
∴HN=12AE，DN=AN.
∵HN∥DC，
可证△HNM≌△FDM(AAS)，
∴HN=DF.
设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30∘，
∴BD=2y，AB=3y.
AE=AB−BE=3y−4，DF=DC−CF=AB−CF=3y−2.
∵HN=12AE=DF，列方程：
12(3y−4)=3y−2；
32y−2 =3y−2；
y=23.
∴AD=23，AB=3×23=6.
AE=6−4=2，
DF=6−2=4.
以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：
D(0，0)，A(0，23)，B(6，23)，C(6，0)，
E在AB上：E(2，23)，F在DC上：F(4，0).
H是DE中点，由中点坐标公式：
H0+22，0+232，即H(1，3).
① 直线FM经过H(1，3)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，
代入两点：k1+b1=34k1+b1=0，
解得：k1=−33，b1=433，
∴直线FM：y=−33x+433，
② 直线BD经过D(0，0)、B(6，23)，
斜率k2=33，
解析式：y=33x.
联立y=33y=−33x+433，
解得：x=2，y=233，
得G（2，233）.
两点距离公式：d=(x2−x1)2+(y2−y1)2，
H(1，3)，G（2，233），
∴HG=2−12+233−32=233.
故答案为：233
【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用 “H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30∘的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.
11．【答案】5,3
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A'作A'G⊥OB于点G，
∴∠A'GB=90°
由旋转的性质可知：A'O'=AO，OB'=OB，∠OBO'=∠O'BG=90°，∠A'O'B=∠AOB=90°，
∴∠A'GB=∠O'BG=∠A'O'B=90°，
∴四边形A'O'BG是矩形，
∴A'G=O'B,BG=O'A',
∴A'G=OB,BG=OA
∵点A的坐标为0,2，点B的坐标为3,0，
∴OA=2,OB=3，
∴A'G=3,BG=2，
∴OG=OB+BG=3+2=5，
∴点A'的坐标为5,3．
故答案为：5,3．
【分析】本题考查图形旋转后的坐标变换，图形旋转后对应线段长度不变，可通过“作垂线构造直角三角形"，利用原坐标的线段长度求旋转后的坐标.
12．【答案】13
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图， 作AG⊥BC于G，作. A'H⟂B'C'于H，作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F， 连接DK、C'K，
∵AB=AC=5,AG⊥BC,
∴BG=CG=12BC=12×6=3,∠AGB=∠A GC=90∘,
∴AG=AB2−BG2=4,
由旋转的性质得，AD=AB,∠BAD=90∘,
∴∠BAG+∠DAE=90∘,
∵DE⟂AG,
∴∠DEA=∠DEG=90∘,
∴∠ADE+∠DAE=90°， ∠DEA=∠AGB=90°，
∴∠ADE=∠BAG，
∴△ADE≌△BAG(AAS)，
∴AE=BG=3，
∴EG=AG-AE=1，
∵A'H⊥B'C"，
∴∠A'HB'=90°，
∴∠A'HB'=∠AGC=∠DEG=90°，
∴四边形EFHG是矩形，
∴FH=EG=1，
由平移的性质可得， △A'B'C"≌△ABC，
又∵A'H、AG分别为△A'B'C'、△ABC对应边的高，
∴A'H=AG=4， C"H=CG=3，
∴A'F=A'H-FH=3，
∵FK=A'F=3，
∴HK=FK−FH=3−1=2,
∴C'K=HK2+C'H2=22+32=13,
∵DF⟂A'K,AF=FK,
∴DF是A'K的垂直平分线，
∴A'D=DK,
∴∣A'D−C'D∣=∣DK−C'D∣≤C'K=13,
∴当D、K、C"共线时， ∣A'D−C'D∣|的最大值为 13,
故答案为： 13.
【分析】作AG⊥BC于G，作AH⊥B'C'于H， 作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F，连接DK、C'K，利用三线合一性质和勾股定理求出AG=4，通过证明△ADE≌△BAG得到AE=BG=3，利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得到FH=EG=1， 再利用平移的性质得到A'H=AG=4，C'H=CG=3，进而求出C'K的长，利用垂直平分线的性质得出A'D=DK，最后利用线段的性质即可求解.
13．【答案】解：问题解决：（1）证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴NC=MP，MN=PC
∵AM=NC
∴AM=MP；
（2）30；32
方法应用：过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，
∴四边形MNDH是平行四边形，
∴ND=MH，MN=DH,MH∥ED
∵AM=ND
∴AM=MH，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC∥ED,∠BCD=90°
∴BC∥MH
∴∠ACB=∠CMH=30°
∵AM=MH
∴∠MAH=15°
∵AC=CD=3m,∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°
∴∠DAC=30°
∴∠DAH=45°
∴当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，
作CR⊥AD于点R，
在Rt△ACR中，AC=2,∠CAR=30°
∴CR=12×2=1，
∴AR=3
∴AD=2AR=23
在Rt△ADH中，AD=23,∠DAH=45°
∴DH=AH=22×23=6，
∴线段MN长度的最小值为6米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）在等边△ABC中，∠ACB=60°，
∵MP∥CN
∴∠PMC=∠ACB=60°
∵AM=MP
∴∠CAP=∠MPA=30°；
当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，
在Rt△ACP中，AC=3,∠CAP=30°
∴CP=12×3=32，
∴线段MN长度的最小值为32；
【分析】（1）过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，先证出四边形MNCP是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出AM=MP即可；
（2）先证出当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，再结合AC=3,∠CAP=30°求出CP=12×3=32即可；
（3）过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，先证出当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，作CR⊥AD于点R，求出∠DAH=45°，最后求出DH=AH=22×23=6即可.
14．【答案】（1）4，0
（2）解：将x=0代入直线l1:y=−12x+2得：y=2，
∴B0,2，
∴OB=2，
将点C2,1代入直线l2:y=kx−3得：2k−3=1，
解得：k=2，
∴直线l2的解析式为y=2x−3，
∵点E的横坐标为m，且点E在直线l1:y=−12x+2上，
∴Em,−12m+2，Fm,2m−3，
∴EF=2m−3−−12m+2=52m−5，
∵EF∥OB，
∴要使以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形，则EF=OB，
∴52m−5=2，
解得：m=145或m=65，
∴当m为145或65时，以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形；
（3）解：存在，点Q坐标为−45,25或4,2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点C2,1代入直线l1:y=−12x+b得：−12×2+b=1，
解得：b=2，
∴直线l1的解析式为y=−12x+2，
将y=0代入一次函数y=−12x+2得：−12x+2=0，
解得：x=4，
∴A4,0；
故答案为：4，0．
（3）∵A4,0，OB=2，
∴OA=4，
∴AB=OA2+OB2=42+22=25，
∵点P为直线l1上一点，且在Rt△AOB中，∠OBA