初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定教学ppt课件

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1.理解矩形的概念，会用矩形的性质解决简单问题.（重点）2.掌握直角三角形斜边上的中线的性质.（难点）
观察下面图形,发现长方形在生活中无处不在.
思考 长方形具有哪些特殊的性质？
你还能举出其他的例子吗？
用矩形纸片折一折,想一想:矩形也是特殊的平行四边形,矩形具有哪些特殊的性质？
解:矩形具有的特殊性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=DB.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.
几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),
AC=BD(矩形的对角线相等),
∵∠AOD=120°,
∴BD=2AB=2×2.5=5.
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
(1)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?(2)由此你能得到的结论是 . 
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明(2)问中得到的结论.(写出已知、求证,并进行证明)
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BE为AC边上的中线.
证明:如图,过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD.
∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ECB.
∵E为AC的中点,∴AE=CE.
又∵∠AED=∠CEB,
∴△AED≌△CEB(ASA).
∴BE=DE,AD=CB.
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形.∴AC=BD.
☀归纳 直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　　. 
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线.(1)若∠ACD=25°,则∠B的度数是　　　; (2)若CD=BC=2,则AC=　　　　; (3)若AC=8,BC=6,则△ACD的面积为　　　. 
已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.
证明:连接BM,DM.
∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,
又∵N是BD的中点,∴MN⊥BD.
☀方法总结 若已知直角三角形斜边的中点,常连接中点与直角顶点,构成直角三角形斜边上的中线,借助中线的性质解题.
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分
3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=54°,D是AB的中点,则∠BCD=　　　　°. 
5.如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且BF=CE，AE，DF相交于点O.求证：AE=DF