初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定综合训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定综合训练题，共46页。试卷主要包含了3 矩形的性质与判定 二阶训练，5D．5等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角相等B．四条边相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
2．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，则下列结论一定正确的是（ )
A．AB=BCB．∠BAC=∠ACBC．AC⊥BDD．AC=BD
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若 AC=8，BD=6，则EF的最小值为 ( )
A．3B．2C．125D．52
4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且 AF=12AO，连接EF，若AC=8，则EF 的长为( )
A．1B．2C．4D．3
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接EF交AC于点O，连接BO．若BC=2，AB=4，则OB的长为
A．3B．2C．2.5D．5
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB'C'，连接B'C，则△AB'C的周长为（ ）
A．16+210B．18C．18+210D．24
7．如图，在△ABC中，BC=26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED=10，则FG的长为（ ）
A．10B．12C．13D．14
8．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．1.6D．2
9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽提出.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（ ）
A．245B．6013C．132D．125
10．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上（端点除外)的动点，连接BE，CE，作平行四边形 BECF，连接AF，DF 分别交BC 于点G，H.下列五个结论：
①∠CED=∠CBF；
②S▱BECF =2S矩形ABCD；
③若▱BECF 是矩形，则 BC=2AB；
④GH=BG+CH；
⑤若点 E 是AD 的中点，则▱BECF 为菱形.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④⑤C．①②⑤D．①③⑤
二、填空题
11．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 .(写出一个即可)
12．某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点 E，F 分别在 BC，AE上，则∠AFD 等于 度.
13．如图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移得到△DEF，BC与DF交于点H，延长AC，EF交于点G，连结GH.若BD=2，GH=3，则AE的长为 .
14．在矩形 ABCD中， AB=23cm,BC=42cm, 现将矩形沿对角线 AC剪开，拼成一个新的平行四边形(不重叠、无缝隙)，若该平行四边形的一条对角线长为4 5cm，则这个平行四边形较长一边的边长为 cm.
15．如图， ▱ABCD中，∠B=80°，BC=2AB，点E是BC中点，过点A作AF⊥CD，垂足为F，连接AE、EF，则∠EFC= °．
三、解答题
16．一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究.
（1）如图①，矩形ABCD中，求证： AC2+BD2=2AB2+BC2.
（2）如图②，在▱ABCD中，可以发现(1)中的结论仍然成立，请证明之.
17．阅读材料，并完成相应任务．
【材料】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点．求证：CD=12AB
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE；
小华：如图3，取BC的中点E，连接DE；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】
（2）如图4，△ABC中，BD，CE是高，O为BC中点，判定OE和OD的数量关系并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的四个角相等，而菱形的四个角不一定相等，因此该选项符合题意；
B、矩形的四条边不一定相等，而菱形的四条边一定相等，因此该选项不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线都互相平分，因此该选项不符合题意；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，而菱形的对角线互相垂直，因此该选项不符合题意．
故答案为：A。
【分析】矩形的基本性质有“四个角都是直角，对角线互相平分且相等”；而菱形的基本性质有“四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等”。本题据此进行逐项分析即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3
∴AB=OA2+OB2=5
连接OP
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∴四边形OEPF是矩形
∴EF=OP
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小
∵S△AOB=12OA·OB=12AB·OP
∴OP=OA·OBAB=125
∴EF的最小值为 125
故答案为：C
【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8
∴BD=AC=8
∴OD=12BD=4
∵点E是边AD 的中点，AF=12AO
∴点F为AO的中点
∴EF=12OD=2
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，OD=12BD=4，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，
∴AC=AB2+BC2=42+22=25
由尺规作图可知：EF垂直平分AC，∴BO是斜边AC上的中线。
∴BO=12AC=5。
故答案为：5。
【分析】首先根据勾股定理求得AC=AB2+BC2=42+22=25，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出BO=12AC=5。
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴AC=AB2+BC2=10
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°
∴AB'=AB=6，∠BAB'=90°
∵∠ABC=90°
∴∠ABC+∠BAB'=180°
∴AB'∥BC
过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形
∴B'H=AB=6，BH=AB'=6
∴HC=BC-BH=2
∴B'C=B'H2+HC2=210
∴△AB'C的周长为AB'+AC+B'C=16+210
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AC，根据旋转性质可得AB'=AB=6，∠BAB'=90°，根据直线平行判定定理可得AB'∥BC，过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形，则B'H=AB=6，BH=AB'=6，根据边之间的关系可得HC，再根据勾股定理可得B'C，再根据三角形周长即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：连接EF、DF，
∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴EF=DF=12BC=12×26=13，
∵G是DE的中点，
∴FG⊥ED，DG=12DE=5，
在Rt△DGF中，FG=DF2−DG2=132−52=12，
故选：B．
【分析】连接EF、DF，由“直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半”这一性质，推出EF=DF=12BC；结合等腰三角形“三线合一”的性质，能够得到FG⊥ED，且DG=12DE，最后借助勾股定理列出式子计算得出结果.
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，BC=8，
∴DE=12BC=4，
∵∠AFB=90°，D为AB的中点，AB=5，
∴DF=12AB=2.5，
∴EF=DE−DF=1.5．
故选：B.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE的长，根据直角三角形斜边中线的性质求出DF的长，利用EF=DE−DF进行计算，即可得出答案．
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，所以对角线AC=BD=62+82=10.
因为矩形的两条对角线把矩形面积分成相等的四部分，且点E在BC上，所以S△AEC+S△BED=S矩形ABCD÷2=6×8÷2=24.
又S△AEC=12×AC×EF=5EF，S△BED=12×BD×EG=5EG，所以5EF+5EG=24，EF+EG=245，A 正确；
故答案为：A.
【分析】先由勾股定理求出矩形对角线AC、BD的长，再把△AEC和△BED的面积分别用底乘高表示出来.利用面积之间的不变关系建立关于EF+EG的等式即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠CED+∠CEB+∠CBE=180°
在平行四边形BECF中，CE∥BF
∴∠CBF+∠CBE+∠CEB=180°
∴∠CED=∠CBF，①正确
②∵四边形BECF是平行四边形
∴S△EBC=S△FBC
∴S▱BECF=2S△EBC
∵S矩形ABCD=BC·AB，S△EBC=12BC·AB
∴S矩形ABCD=2S△EBC
∴S▱BECF =2S矩形ABCD，②错误
③连接EF交BC于点O
∵平行四边形BECF是矩形
∴OE=OF=OB=OC
根据已知条件无法判定OE=AB
∴无法判定BC=2AB，③错误
④过点F作FP⊥BC于点P
∴∠FPB=∠FPC=90°
∵S△EBC=12BC·AB，S△FBC=12BC·FP，S△EBC=S△FBC
∴AB=FP
在矩形ABCD中，AB=CD，∠ABP=∠DCP=90°
∴AB=FP=CD，∠ABP=∠DCP=∠FPB=∠FPC=90°
在△ABG和△FPG中
∠ABP=∠FPG∠AGB=∠FGPAB=FP
∴△ABG≌△FPG(AAS)
∴BG=PG
同理可得，△DCH≌△FPH
∴CH=PH
∴GH=PG+PH=BG+CH，④正确
⑤若点E是AD的中点
∴AE=DE
在矩形ABCD中，∠BAE=∠CDE=90°，AB=DC
在△ABE和△DCE中
AE=DE∠BAE=∠CDE=90°AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴BE=CE
∴▱BECF为菱形，⑤正确
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得∠CED+∠CEB+∠CBE=180°，根据平行四边形性质可得∠CBF+∠CBE+∠CEB=180°，再根据角之间的关系可判断①；根据平行四边形性质可得S△EBC=S△FBC，再根据面积之间的关系可判断②；连接EF交BC于点O，根据矩形性质及边之间的关系可判断③；过点F作FP⊥BC于点P，根据三角形面积可得AB=FP，根据矩形性质可得AB=FP=CD，∠ABP=∠DCP=∠FPB=∠FPC=90°，根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△FPG(AAS)，则BG=PG，同理可得，△DCH≌△FPH，则CH=PH，再根据边之间的关系可判断④；根据线段中点可得AE=DE，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DCE，则BE=CE，再根据菱形定理即可求出答案.
11．【答案】AC=BD(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形
所以当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
故答案为：AC=BD.
故答案为：AC=BD(答案不唯一).
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形解决问题.
12．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
又∵∠BAE=30°，∠CDF=45°，
∴∠FAD=90°−∠BAE=60°，∠FDA=90°−∠CDF=45°，
∴∠AFD=180°−∠FAD−∠FDA=75°.
故答案为：75.
【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=90°，求出∠FAD和∠D=FDA的度数，利用三角形内角和解答即可．
13．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：连接CF，
由平移可得：AG∥DF，BC∥EG，CF=AD=BE，
∴四边形CHFG是平行四边形，
又∵∠GCH=∠ACB=90°，
∴四边形CHFG是矩形，
∴CF=GH=3，
∴AD=BE=3，
∴AE=AD+DB+BE=3+2+3=8，
故填：8.
【分析】连接CF，根据平移的性质得出AG∥DF，BC∥EG，CF=AD=BE，再根据∠GCH=∠ACB=90°得出四边形CHFG为矩形，得出CF=GH=3，从而得出AD=BE=3，利用AE=AD+DB+BE，即可得出答案．
14．【答案】211
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
拼成平行四边形ACC'D，
此时对角线CD=23cm，AC'=AB2+BC'2=(23)2+(82)2=235(cm)，与题意不符；
拼成平行四边形ACC''B，此时对角线BC=42cm，AC"=(43)2+(42)2=45(cm)，符合题意，较长的一边AC=AB2+BC2=(23)2+(42)2=211(cm)，
故答案为：211.
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法解答即可.
15．【答案】50
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长AE交DC的延长线于G，如图，
∵BC=2AB，点E是BC中点，
∴AB=BE，
∴∠BAE=12(180°−∠B)=50°，
在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠G=50°，
∵点E是BC中点，
∴BE=CE，
∵∠AEB=∠GEC，
∴△ABE≌△GCE，
∴AE=GE；
∵AF⊥CD，
∴EF=EG=AE，
∴∠G=∠EFC=50°；
故答案为：50．
【分析】延长AE交DC的延长线于G，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BAE=50°，由平行四边形的对边平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠G=50°，由中点定义得BE=CE，结合对顶角相等，由“AAS”证△ABE≌△GCE，由全等三角形的对应边相等得AE=GE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得EF=EG=AE，由等边对等角得∠G=∠EFG=50°．
16．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,AC=BD，
∴AC2=AB2+BC2，
∴AC2+BD2=2AC2=2(AB2+BC2)；
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（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于 F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
又∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2=AE2+CE2=AE2+(BC−BE)2，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)2
∴AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2=AE2+BE2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ABC=90°,AC=BD，然后根据勾股定理证明结论即可；
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于 F，根据AAS得到△ABE≌△DCF，即可得到AE=DF，BE=CF，根据勾股定理列式，然后相加解答即可．
17．【答案】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE,BE，又∵点D是AB的中点，即AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB=CE，
∵CD=DE=12CE，
∴CD=12AB；
若选择小华的方法：如图3，取BC的中点E，连接DE，
又∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEB=90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵BD=12AB，
∴CD=12AB．
其他方法：如图1，分别取BC的中点E，AC的中点F，连接DE，DF，
又∵点D是AB的中点，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF=12AB，
∴四边形CEDF是平行四边形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
∴CD=EF，
又∵EF=12AB，
∴CD=12AB，
（2）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
又∵O是BC边的中点，
∴OD=12BC，OE=12BC，
∴OD=OE，
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先选择方法，再分别讨论，①若小明的方法：先证明四边形ACBE是平行四边形，再证明四边形ACBE是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；②若小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出DE垂直平分BC，进而得出结论即可；③若其他方法：分别取BC的中点E，AC的中点F，连接DE，DF，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出OD=12BC，OE=12BC，最后即可得到结论.