北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定优秀第2课时学案设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定优秀第2课时学案设计，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 矩形的判定
【学习目标】
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
学习重点：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
学习难点：能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
【复习导入】
问题1 矩形的定义是什么？
问题2 矩形有哪些性质？

【合作探究】
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.

（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

证一证
已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB.
求证：□ ABCD 是矩形.

知识要点
矩形的判定定理1：
几何语言描述：
议一议
你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形? 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查? 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.
典例精析
例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，
∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
练一练
1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （ ）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
2.如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
例2 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求▱ABCD 的面积。
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
想一想
至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
知识要点
矩形的判定定理：
几何语言描述：
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
练一练
3. 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．

当堂反馈
1.如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB＝BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC＝90°
D.∠1＝∠2
2.判断(对的打“√”，错的打“×”)：
(1)内角都相等的四边形是矩形.
(2)对角线相等的四边形是矩形.
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
(4)一组邻角相等的平行四边形是矩形.
(5)对角互补的平行四边形是矩形.
3.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为 .
4.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形.请说明理由.


5.如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ.
(1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长.

参考答案
【合作探究】
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
证一证
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB∥DC.
又∵ BC = BC， AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
典例精析
例1 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = eq \f(1,2)AC，OB = OD = eq \f(1,2)BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
练一练1. 答案：A
2.解：四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，DO = BO.
又∵∠1 = ∠2，
∴ AO = BO.∴ AC = BD.∴ □ABCD 是矩形.
例2
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD。
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4。
∴ OA = OB = OC = OD = 4。
∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。
∴▱ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。
∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角)。
在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB² + BC² = AC²，
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
证一证
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
练一练3.
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB，∠ABC 的平分线，
∴∠BAF +∠ABF = eq \f(1,2)∠DAB + eq \f(1,2)∠ABC = 90°.
∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°.
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
当堂反馈
1. C
2.(1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5) √
3. 10 .
4.(1)证明：在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，
∴△DCA≌△EAC(SSS).
(2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°.
∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°.
∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一).
5.(1)证明：∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝90°.∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ.
又∵CD＝CP，CQ＝CQ，∴△DCQ≌△PCQ(SAS).∴∠D＝∠QPC＝90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.
(2)解：∵CP＝CD，∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2.
在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2，∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5.