北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定达标测试

这是一份北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定达标测试，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是菱形
2．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，过点作于点，连接，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．中，是边上的高，E为的中点，若，则的长为（ ）．
A．5B．5.5C．6D．6.5
4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A．3.6B．7.2C．1.8D．14.4
6．两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A．15B．14C．13D．12
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
9．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形ABQP是矩形
B．当时，四边形PQCD是平行四边形
C．
D．当时，四边形PQCD是菱形
10．下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
11．下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角相等；B．对角线互相垂直的四边形是菱形；
C．等腰梯形的对角线相等；D．两条对角线相等的平行四边形是矩形．
12．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．

A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．如图，在中，为的中点，连接，则 度．
14．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ．
15．如图，在中，分别为边上的点（不与端点重合）．对于任意，下面四个结论中：
①存在无数个四边形，使得四边形是平行四边形；
②至少存在一个四边形，使得四边形菱形；
③至少存在一个四边形，使得四边形矩形；
④存在无数个四边形，使得四边形的面积是面积的一半．
所有正确结论的序号是 ．
16．如图，矩形的对角线 与 相交于点，过点作，交 于点，连接．若，则 ．
17．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为
三、解答题
18．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作轴，垂足为点A；过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段的长为______，______度．
（2）将图2中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，如图②，求线段的长；
（3）点M是直线上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、O、F，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
20．如图，点是的中点，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．
21．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
(1)求证：EG＝BG；
(2)若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
(3)随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BGAE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 ．
23．已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
《1.2矩形的性质与判定》参考答案
1．D
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解，
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若平分，则四边形是菱形；选项D正确；
故选：D．
2．A
【分析】先根据菱形的性质得、、、，借助可计算出、的值，再利用DH⊥AB、可知OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，进而求出∠DHO的度数．
【详解】解：∵ABCD是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角求角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据等腰三角形的高性质可得BD=CD=，根据勾股定理可求，由E为的中点，AD⊥BD，可得DE=．
【详解】解：∵是边上的高，
∴BD=CD=，
在△ADB中，AD=12，BD=5，
∴，
∵E为的中点，AD⊥BD，
∴DE=．
故选择D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质是解题关键．
4．C
【分析】先说明四边形OCDE是矩形，然后运用菱形的性质逐项排除即可完成解答.
【详解】解：∵菱形
∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE=BE
又∵，
∴四边形OCDE是矩形
∴OD=CE,OE=CD
∴OD=AB=AE,OB=CD
故A、B选项正确；
又∵
∴四边形OBCD是平行四边形
∴OD∥BC
所以D正确；
又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误；
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，灵活掌握菱形、矩形的性质和判定是解答本题的关键.
5．B
【分析】如图，根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，求出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=3.6cm，
∴BD=AC=2AO=7.2cm，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出BD=AC=2AO．
6．A
【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，在两张全等的矩形纸片，中，，
，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
则图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
7．C
【详解】∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
8．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案．
【详解】解：连接，如图．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵为的中点，
∴点M在上，且，
∴当最小时，最小，
根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短．
，
即，
∴．
故选：D．
9．D
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解．
【详解】根据题意得：，，
，，，
，，
在四边形中，，，
A. 当时，,
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B. 当时，，
∴
又，则
∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
C. 如图，过点作于点
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，故C正确，不符合题意
D. 当时，,,
∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
10．D
【分析】由菱形的判定可判断A，由平行四边形的判定可判断B，由矩形的判定可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故原说法是假命题，故A不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是假命题，故B不符合题意；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法是假命题，故C不符合题意；
所以D是真命题，D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的判定，掌握“平行四边形，矩形，菱形的判定方法”是解本题的关键．
11．B
【分析】分别根据平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、平行四边形的对角相等是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，假命题，符合题意；
C、等腰梯形的对角线相等是真命题，不符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键．
12．D
【分析】根据对称的性质和全等三角形的概念求解即可．
【详解】如图，

由轴对称的性质可得；；；，
共有4对，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠对称的性质，全等三角形的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】解：∵为的中点，
．，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，点E恰好为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
15．①②④．
【分析】根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定逐条判断即可．
【详解】解：只要满足AB∥EF，四边形是平行四边形，这样的EF有无数条，故①正确；
因为，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形是菱形，故②正确；
因为是任意，∠B不一定是直角，矩形不一定存在，故③错误；
当EF经过对角线交点时，四边形的面积是面积的一半，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形、矩形的判定，解题关键是熟练运用所学四边形的性质与判定，准确进行推理判断．
16．/度
【分析】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可得，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
∵，
∴
∴
故答案为：．
17．10cm2
【分析】观察图形可得四边形的面积=矩形的面积减两个三角形的面积，即得结果．
【详解】∵AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，
∴CE=4，CF=3，
∴四边形DBFE的面积=8×4-8×4÷2-4×3÷2=10cm2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，解答本题的关键是理解四边形的面积=矩形的面积减两个三角形的面积．
18．（1）4；30．（2）AD=；（3）M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【分析】（1）先确定出OA=2，OC=2，进而得出AC=4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD=2-AD，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴令，则；，则，
∴A（2，0），C（0，2），
∴OA=2，OC=2，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，，
∴∠ACO=30°．
故答案为：4；30．
（2）由（1）知，BC=2，AB=2，
由折叠知，CD=AD，
在Rt△BCD中，BD=AB-AD=2-AD，
根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，
即：AD2=4+（2-AD）2，
∴AD=；
（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN=CO，
∴M点的纵坐标为4，代入y=-x+2得，x=-2，
∴M(−2，4)．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，
∵，
∴CN=AC=4，
∴，
∴M点的横坐标为或-，代入y=-x+2得，y=-3+2或y=3+2．
∴M点的坐标为（，−3+2）或（-，3+2）．
综合以上可得M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
19．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据推出：；根据全等三角形的性质得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可求解．
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，，
∵四边形是矩形，
，
，
在和中，
；
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得．
，
∴菱形的周长为20．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．
20．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质可得，从而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
21．(1)见解析
(2)①点G与点C重合，理由见解析；②
(3)存在，且m=
【分析】（1）欲证明EG=BG，只要证明∠EBG=∠BEG即可；
（2）①如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，构建方程求出x，即可判断；
②由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则，推出，推出可以假设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得结论；
（3）利用勾股定理求出BG与AB，AE的关系，再结合已知条件，构建关系式可得结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB=∠BEF，
∴∠EBG=∠BEF，
∴EG=BG；
（2）①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=6．AE=BH=2，
设BG=EG=x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴x2=62+（x-2）2，
∴x=10，
∵BC=AD=10，BG=10，
∴点G与C重合；
②如图2中，
由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，
∵，
∴，
∴可以假设AB=k，BD=4k，则DF=3k，
在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，
∴82=22+（3k）2，
∴k（负根已经舍去），
∴AB；
（3）如图1中，设BG=EG=y，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴y2=AB2+（y-m）2，
∴，
∴BG-AE=AB2总成立，
∴，
∴m=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22．（1）证明见解析；（2）4
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，
则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论．
【详解】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
24．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF，根据平行四边形的性质得AB=DC．利用“SSS”得△ABF≌△DCE．
（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C，从而得到一个直角，问题得证.
【详解】（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
B
A
C
D
D
D
题号
11
12








答案
B
D