初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定精品课时作业

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定精品课时作业，共21页。
基础过关全练
知识点1 矩形的定义
1.原创精品如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 .
知识点2 矩形的性质
2.原创精品矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分B.对角线相等
C.邻边相等D.对角线互相垂直
3.原创精品如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB=2，∠ACB=30°，则对角线AC的长为( )
A.22 B.4C.2D.23
4.原创精品如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF.若AC=10，则EF= .
5.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点D恰好落在对角线AC上的点F处，若AF=CF，DE=2，则AB= .
6.(2022湖北鄂州中考改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD.
(1)求证：DF=CF；
(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积.
7.原创精品如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明.
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
8.原创精品如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，CD=3，AC=2，则BC的长为( )
A.3B.4C.6D.42
9原创精品如图，在△ABC中，∠ACB=90°.分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN.直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB=3，则CD的长是( )
A.6B.3C.1.5D.1
10.如图所示，一架长5 m的梯子(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，这时梯子的顶端A距地面4 m.梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫.下列说法错误的是( )
A.梯子的底端B到墙的距离为3 m
B.P处的老鼠离地面的距离为2 m
C.梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近
D.梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等
知识点4 矩形的判定
11.(2025陕西中考改编)在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A.AB=ACB.AC⊥BDC.AB=ADD.AC=BD
12.(2022山东聊城中考2026新教材改编)要检验一个四边形的桌面是不是矩形，可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
13.(原创精品)如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形.
14.(原创精品)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分
∠BAC，CF平分∠ACD.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形?请写出证明过程.
能力提升全练
15.原创精品如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，若△ABE的周长为12，AB=4，则CE的长为( )
A.92B.5C.6D.132
16.(2021湖南株洲中考)如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC= .
17.(2025湖北荆州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD.若CE=13AE=1，则CD= .
18.(2024辽宁铁岭期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，则经过 秒后，四边形BEDF是矩形.
19.(2024辽宁辽阳期中改编)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H分别为垂足，连接GH.若AB=8，AD=6，EF=5，则GH的最小值是 .
20.(2025江苏连云港中考改编)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.
21.(2026江苏泰州中考改编)如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形?请说明理由.
22.(原创精品)如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1 cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形?
(3)直接写出(2)中菱形AQCP的周长和面积，周长是 cm，面积
是 cm2.
素养探究全练
23.原创精品数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图①所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
(1)请根据图①完成这个推论的证明过程：
证明：S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC)，
S矩形EBMF=S△ABC-( + ).
易知，S△ADC=S△ABC， = ， = .
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.
(2)如图②，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若PE=5，DF=4，求图中阴影部分的面积.
24.原创精品请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图1，任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F.若EF=2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图2，取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC=90°，AD∥BC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴AG=12EF.
……

任务一：上面证明过程中得出“AG=12EF”的依据是 ；
任务二：完成材料证明中的剩余部分；
任务三：如图3，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若BF=12AC，CF=4，请直接写出BF的长.
第一章 特殊平行四边形
3 矩形的性质与判定
答案全解全析
基础过关全练
1.∠A=90°(答案不唯一)
解析 添加的一个条件可以是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形.故答案为∠A=90°(答案不唯一).
2.B 矩形的性质：①矩形的对边相等且平行；②矩形的对角相等，且都是直角；③矩形的对角线互相平分、相等.菱形的性质：①菱形的四条边都相等，且对边平行；②菱形的对角相等；③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角.∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.故选B.
3.B ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，故选B.
4.52
解析 在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD=10，
∵AF=14AC，∴AF=12AO，∴点F为AO的中点，
又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，
∴EF=12OD=14BD=52.故答案为52.
5.6
解析 在矩形ABCD中，∠D=90°，AB=CD.由题意可知△AEF≌△AED，∴∠DAE=∠FAE，EF=DE=2，∠EFA=∠D=90°，又∵AF=CF，∴EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠FAE=∠FCE，在Rt△ACD中，∠DAC+∠FCE=
90°，∴∠DAE+∠FAE+∠FCE=90°，∵∠DAE=∠FAE=∠FCE，∴∠FCE
=30°，在Rt△CEF中，EF=2，∴CE=2EF=4，∴AB=DC=DE+CE=2+4=6.
6.解析 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ACD=∠BDC，
∵∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD，∴∠CDF=∠DCF，∴DF=CF.
(2)由(1)可知DF=CF，∵∠CDF=60°，∴△CDF是等边三角形，
∴CD=DF=6，∵∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴OD=CD=6，∴BD=2OD=12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴BC=BD2−CD2=122−62=63，∴S矩形ABCD=BC·CD=63×6=363.
7.解析 (1)如图：
(2)AE=CF，证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=
∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE=CF.
8.D ∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴AB=2CD，∵CD=3，
∴AB=6，在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=AB2−AC2=62−22=42，故选D.
9.C 由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠A=
∠ACD，∵∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴CD=BD，
∴AD=BD，∴点D为AB的中点，∵AB=3，∠ACB=90°，∴CD=12AB=1.5，故选C.
10.C 梯子的底端B到墙的距离为52−42=3(m)，A选项说法正确，不符合题意；如图1，连接OP，在Rt△AOB中，点P为AB的中点，则OP=12AB=BP=2.5 m，即OP的长度不变，C选项说法错误，符合题意；如图1，过点P作PH⊥OB于H，∵OP=BP，∴点H为OB的中点，又点P为AB的中点，∴PH为△AOB的中位线，∴PH=12OA=2 m，即P处的老鼠离地面的距离为2 m，B选项说法正确，不符合题意；如图2，当梯子顶端沿墙下滑2 m到点C时，OC=2 m，则OD=52−22=21(m)，
∴BD=OD-OB=(21-3)m，∴梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等，D选项说法正确，不符合题意.故选C.

11.D 由对角线相等的平行四边形是矩形，知选项D符合题意，故选D.
12.C 选项A，测量两条对角线是否相等，不能判定是不是平行四边形，更不能判定是不是矩形，故选项A不符合题意；
选项B，度量两个角是不是90°，不能判定是不是平行四边形，更不能判定是不是矩形，故选项B不符合题意；
选项C，测量对角线交点到四个顶点的距离是否相等，可以判定是不是矩形，故选项C符合题意；
选项D，测量两组对边是否分别相等，可以判定是不是平行四边形，但不能判定是不是矩形，故选项D不符合题意.
故选C.
13.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠EAB=∠CFE，
∵E为BC的中点，∴EC=EB，
在△ABE和△FCE中，∠EAB=∠CFE,∠BEA=∠CEF,EB=EC,∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∴DC=CF，
又∵CE=CG，∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形.
14.解析 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC，∠DCF=∠ACF=12∠ACD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形.
证明：由(1)可知∠CAE=∠ACF，∴AE∥CF，
∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF是矩形.
能力提升全练
15.B 在矩形ABCD中，OA=OC，又OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，
∴AE=CE，∵△ABE的周长为12，AB=4，∴AE+BE=8，∵AE2=BE2+AB2，
∴AE2=(8-AE)2+42，∴AE=5，∴CE=5.故选B.
16.4
解析 ∵四边形ADBE是矩形，∴AB=DE，DO=OE，∴AB=DE=2OD=4，∵AB=AC，∴AC=4，故答案为4.
17.6
解析 如图，连接BE，∵CE=13AE=1，∴AE=3，AC=4，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，∴AE=BE=3，在Rt△ECB中，BC=BE2−CE2=22，∴AB=AC2+BC2=26，∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD=12AB=6.故答案为6.
18.2或10
解析 设运动的时间为t秒，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8，∴OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD=4，∵AE=CF=t，∴OE
=OF=6-t或OE=OF=t-6，∴四边形BEDF是平行四边形，∴当EF=BD时，四边形BEDF是矩形，∴OE=OD，∴6-t=4或t-6=4，∴t=2或t=10，∴经过2秒或10秒后，四边形BEDF是矩形，故答案为2或10.
19.7.5
解析 连接AC，AP，CP，如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=90°，∴AC=AB2+BC2=82+62=10，∵P是线段EF的中点，∴AP=12EF=2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC=∠PHC=
90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH=CP，当A，P，C三点共线时，CP的值最小，为AC-AP=10-2.5=7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为7.5.
20.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC.
∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，
∵AB=AE，∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形.
21.解析 (1)证明：由题意可得点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.∵点D是AB的中点，∴AD=12AB，∵点 E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12AB，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分.
(2)当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形.
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AF=12BC，∴AF=DE，由(1)得四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形.
22.解析 (1)由题意得BQ=DP=t cm，
则AP=CQ=(6-t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，
∴当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=6-t，解得t=3，
故当t=3时，四边形ABQP为矩形.
(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形，
即当32+t2=6-t时，四边形AQCP为菱形，
解得t=94，故当t=94时，四边形AQCP为菱形.
(3)15；454.提示：当t=94时，CQ=6-t=154(cm)，
∴菱形AQCP的周长为4CQ=4×154=15(cm)，
菱形AQCP的面积为CQ·AB=154×3=454(cm2).
素养探究全练
23.解析 (1)S△AEF；S△FMC；S△ANF；S△AEF；S△FGC；S△FMC.
(2)作PM⊥AD于M，延长MP交BC于N，如图，
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴PM=DF=4，S△AEP=S△AMP，S△CFP=S△CNP，同(1)得S矩形AEPM=S矩形CFPN，
∴S△CFP=S△AEP=12PE·PM=12×5×4=10，
∴图中阴影部分的面积=10+10=20.
24.解析 任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
任务二：∵EF=2AB，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，
易知AG=FG，∴∠GAF=∠F，∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F，
∵AD∥BC，∴∠F=∠CBF，∴∠ABG=2∠CBF，∴∠ABC=3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线.
任务三：取AC的中点H，连接BH，过点C作CG⊥BF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，
∵点H是AC的中点，∴AH=CH=BH，
∴∠HAB=∠HBA，设∠HAB=∠HBA=x，∴∠BHF=2x，
∵BF=12AC，∴BH=BF，∴∠F=∠BHF=2x，
∵∠CBE=90°，BF平分∠CBE，∴∠FBE=∠CBF=45°，
∵∠FBE=∠HAB+∠F，∴x+2x=45°，∴x=15°，∴∠BFC=30°，
∵CG⊥BF，CF=4，∴CG=2，∴FG=23，
∵∠CBF=45°，∴∠BCG=45°，∴CG=BG=2，∴BF=BG+FG=2+23.