初中数学3 矩形的性质与判定习题

这是一份初中数学3 矩形的性质与判定习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，要使▱ABCD成为矩形，给出下列条件：①AB=BC；②∠DAB=∠ABC；③AC=BD，其中正确的是( )
A．①②③B．②③C．①②D．①③
2．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，则下列说法正确的是( )
A．若AB∥CD且AC=BD， 则四边形ABCD是矩形
B．若AB=AD且CB=CD， 则四边形ABCD是菱形
C．若OA=OC且OB=OD， 则四边形ABCD是平行四边形
D．若AC⊥BD且AC=BD， 则四边形 ABCD是正方形
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
5．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道AC、BC互相垂直，步道AB的中点M与观景亭C被河道隔开．若测得AB的长为4000m，则M、C两点间的距离为（ ）
A．4000mB．3000mC．2000mD．1000m
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则BC＝（ ）
A．6B．8C．43D．42
7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=BCB．∠ABC=90°C．∠ABD=∠ACDD．OB=OC
8．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ）
A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB=60°,AC=6，则AD的长是（ ）
A．6B．3C．33D．4
10．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，若AB=2，AD=4，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
11．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝ .
12．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，变形后∠A'=30°，若矩形ABCD的面积是12，则平行四边形A'B'C'D'的面积是 ．
13．如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABC交CD于点E．若∠DBE=10°，则∠ADB= ．
14．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝ ．
15．如下图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是
三、解答题
16．如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形木板.为什么?
17．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为120m2，请你求出AB和BC分别是多少?
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗?请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：①AB=BC，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；
②∠DAB=∠ABC，在▱ABCD中，AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DAB=∠ABC=90°，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；
③AC=BD，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；
综上，其中正确的是②③．
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故答案为：D．
【分析】依据"对角线相等的平行四边形是矩形"这一判定定理来进行判断即可．
3．【答案】C
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵河畔有两条沿河步道AC、BC互相垂直，点M为步道AB的中点，AB的长为4000m，
∴MC=12AB=2000m．
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形的重要性质——斜边上的中线等于斜边的一半。首先由 AC⊥BC 可判定 ΔACB 是直角三角形，斜边为 AB，而 M 是 AB 的中点，即 CM 是直角三角形斜边上的中线，因此直接用斜边 AB 的长度除以2，就能得到 CM 的长度。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB.
已知∠AOB=60∘，有一组邻边相等且夹角为60∘，△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=4
对角线AC=2OA=8.
矩形∠ABC=90∘，在Rt△ABC中：BC=AC2−AB2=82−42 =43.
故答案为：C .
【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60∘判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点
∴AO=OC
∵OD=BO
∴四边形ABCD是平行四边形
A、当AB=BC时，▱ABCD是菱形，不符合题意；
B、当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形，符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB，添加条件∠ABD=∠ACD，可得∠CDB=∠ACD，所以OD=OC，所以AC=BD，可证▱ABCD是矩形，符合题意；
D、由OB=OC，得AC=BD，可证▱ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定▱ABCD是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°
∴▱ABCD是矩形
故结论正确，但不符合题意；
B．∵AC⊥BD
∴▱ABCD是菱形
故结论正确，但不符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=12AC，BO=12BD
又OA=OB
∴AC=BD
∴▱ABCD是矩形
故结论正确，但不符合题意；
D．当AB=AC时，四边形ABCD不一定是菱形
故结论错误，符合题意。
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中
∴AO=BO=12AC=12×6=3，BD=AC=6，且∠BAD=90°
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=AO=3
∴AD=BD2−AB2=62−32=33．
故答案为：C。
【分析】先根据矩形的性质得出AO=BO=3，BD=AC=6，∠BAD=90°，然后根据等边三角形的判定及性质得到AB=AO=3，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，OD=OB,CD∥AB
∴∠ODF=∠OBE，∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOFASA
∴S△BOE=S△DOF
∴S阴影=S△AOE+S△DOF=S△AOE+S△BOE=S△AOB=14S矩形=14×2×4=2
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得OD=OB,CD∥AB，进而可得△BOE≌△DOF，利用全等三角形的面积相等得出S△BOE=S△DOF，从而进一步求解即可.
11．【答案】7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线
∴BD=AC=7。
故答案为：7
【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。
12．【答案】6
【解析】【解答】解：过点B'作B'E⊥A'D'于点E，
∵∠A'=30°，
∴B'E=12A'B'=12AB
∵A'D'=AD，S矩形ABCD=12
∴S四边形A'B'C'D'=12S矩形ABCD=12×12=6．
故答案为：6．
【分析】过点B'作B'E⊥A'D'于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.
13．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵BD是矩形ABCD的对角线
∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC
∵BE平分∠ABC交CD于点E．
∴∠CBE=12∠ABC=45°
∴∠CBD=∠DBE+∠CBE=55°
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD=55°
故答案为：55°
【分析】先根据矩形的性质和角平分线求出∠CBE=45°，结合已知条件∠DBE=10°，利用角的和差关系求出∠DBC，最后根据平行线的性质进行解答即可．
14．【答案】13
【解析】【解答】如图，连接BO
∵B的坐标为（2，3）
∴OB=22+32=13
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=13
故答案为：13．
【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.
15．【答案】∠ABC=90°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，当∠ABC=90°时， 平行四边形ABCD就成为矩形。
故答案为：∠ABC=90°．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有∠ABC=90°或AC=BD等均可。
16．【答案】解：因为长木板的对边平行，由已知，得此四边形的四个内角都为直角，所以他能得到矩形木板.
【解析】【分析】根据矩形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：x2−13x+40=0解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m
由题意得：x(39-3x) =130
整理得：3x2−39x+130=0
△=(−39)2−4×3×130=1521−1560