初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定优秀第2课时教案及反思

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1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法．
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力．
3.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
重点：矩形判定定理的理解与应用．
难点：矩形的判定定理与性质定理的区别和联系．
知识链接
上节课我们学习了矩形的性质，回顾一下相关知识．
探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．

（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
当∠α增大时，与∠α相邻的对角线变短，相对的另一条对角线变长．
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
当两条对角线的长度相等时平行四边形有一个角为直角．
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．证明如下：
已知：如图，在▱ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且AC=DB．求证：▱ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．
又∵BC=BC，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB=180°．
∴∠ABC=90°．∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）．
归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形．
几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．
思考：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．
1.先用绳子测量四边形的两组对边是否相等，相等则是平行四边形．
2.在1成立的条件下，用绳子测量对角线是否相等．相等则是矩形．
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求▱ABCD的面积．


探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
我们一起来验证一下：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形．
归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．
如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．
∴∠BAD＋∠ADC=180°．
又∵AF，DE分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF＋∠ADE=12∠BAD＋12∠ADC=12（∠BAD＋∠ADC）=90°．∴∠AED=90°．
同理∠CHD=∠BGC=90°．∴∠EHG=∠CHD=90°．
∴四边形EFGH是矩形．
1.如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( C )
A.AB＝BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC＝90°
D.∠1＝∠2
2.判断(对的打“√”，错的打“×”)：
(1)内角都相等的四边形是矩形. √
(2)对角线相等的四边形是矩形. ×
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. √
(4)一组邻角相等的平行四边形是矩形. √
(5)对角互补的平行四边形是矩形. √
3.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 .