北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定优质第1课时导学案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定优质第1课时导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 矩形的性质
【学习目标】
1. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
学习重点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
学习难点：掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
【复习导入】
问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？

【合作探究】
探究点一：矩形的性质
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

活动：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果，你有什么猜想？
证一证
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O.
求证：AC = DB.
知识要点：
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
几何语言描述：
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
练一练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
观察·思考
如图(1)，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到图 (2) 所示的图形，BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？
证一证
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = 12 AC.
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．
(1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
练一练
2.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE.
归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
归纳总结
直角三角形斜边上的中线的性质常见模型：

当堂反馈
1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线相等B.两组对边分别平行
C.对角线互相平分D.两组对角分别相等
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝ ；
(2)若AO＝1，则AC＝ ，BD＝ ；
(3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ °，△AOB的形状是 三角形.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点.
(1)若BD＝5，则AC＝ ；
(2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝ ；
(3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为 .
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4cm，BC＝6cm，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.
(1)求证：AC＝AE；
(2)若∠AOB＝120°，AE＝8，求BC的长.
参考答案
【合作探究】
探究点一：矩形的性质
证一证
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(2)证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
典例精析
例1
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = eq \f(1,2)AC，OB = OD = eq \f(1,2)BD，
∴OA = OD.
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = eq \f(1,2)(180° -120°) = 30°.
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
例2 证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED.
又∵ DF⊥AE，
∴ DF = DC.
练一练
1. 答案：C
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
证明：证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE，连接 AD，CD.
∵AE = EC，BE = ED，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
∴ BE = eq \f(1,2)BD = eq \f(1,2)AC.
例3 解：（1）∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)×10＝5，
DF＝AF＝ eq \f(1,2)AC＝ eq \f(1,2)×8＝4.
∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18.
（2）证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，
∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD.
练一练 2.解：连接 EG，DG.由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ eq \f(1,2) BC，DG＝ eq \f(1,2) BC.
∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
直角三角形斜边上的中线的性质常见模型：
当堂反馈
1. A
2. (1) 10 ；
(2) 2 ， 2 ；
(3) 60 ， 等边 .
3.(1) 10 ； (2) 2.5 ； (3) 40° .
4.12 .
5.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
∴BD＝AE.∴AC＝AE.
(2)解：∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝12AC，OB＝12BD，AC＝BD.
∴OB＝OC.∴△OBC是等边三角形.
∴BC＝OC＝12AC.由(1)可知AC＝AE＝8，
∴BC＝12×8＝4.