北师大版（2024）九年级上册（2024）3 矩形的性质与判定多媒体教学ppt课件

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有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形.
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm，
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________________，可使它成为矩形。
∠ABC = 90°或 AC = BD
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），AC = BD（矩形的对角线相等）AO = CO = AC，BO = DO = BD（矩形的对角线互相平分）.∴AO = BO = DO = BD.∵ED = 3BE，∴BE = OE，又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.∴AE = AD = ×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.∴∠DAE =∠CAD +∠CAN = （∠BAC +∠CAM） = ×180° = 90°.在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，∴AC = DE, ∴DF = AC.又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴DF∥AB.
1.（教材P18随堂练习）已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
证明:∵ △ABD ≌△CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点，∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD ,∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
2. （教材P18习题1.6第1题）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面积.
3. （教材P19习题1.6第2题）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E. 已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO 的度数.
4. （教材P19习题1.6第3题）已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．又∵四边形 ABDE 是平行四边形,∴ BD AE, 则 CD AE．∴四边形 ADCE 为平行四边形．又∵∠ADC ＝ 90°, ∴四边形 ADCE 为矩形．
5. （教材P19习题1.6第4题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合. 请在图中画出折痕的长.
6. （教材P19习题1.6第5题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.