第二十六章 二次函数 - 初中数学九年级上册 单元知识点复习讲义+题型练习（人教版2024）

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第二十六章 二次函数复习讲义 知识点01 二次函数的定义 1.二次函数的定义 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有二次函数与轴有交点，即时，二次函数的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 知识点02 二次函数的图象和性质 1.二次函数的性质与图像 ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c−m） (2)y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x−m)2+b(x−m)+c） 3.一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 知识点03 待定系数法求函数解析式 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+ca≠0。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=ax−ℎ2+ka≠0。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=ax−x1x−x2a≠0。 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2.二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围； 的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 知识点05 实际问题与二次函数 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式； ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题； ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论； ⑥答：写出答案。 题型01 二次函数的定义及形式互化 【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【典例2】将二次函数y=12x2−6x+21化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ） A．y=12(x+6)2−3 B．y=12(x−6)2−3 C．y=12(x+6)2+3 D．y=12(x−6)2+3 【变式1】若函数y=(m−3)xm2−3m+2+mx+1是二次函数，则m的值一定是（ ） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【变式2】已知二次函数y=2x2−4x−6． (1)用配方法将y=2x2−4x−6化成y=ax−ℎ2+k的形式； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【中考链接】用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 题型02 二次函数的图象与基本性质 【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【典例2】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（ ） A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【典例3】若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【典例4】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【变式1】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【中考链接1】若二次函数y=x+m2+m(m为常数)的图像与x轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【中考链接2】已知点−2,y1,3,y2,7,y3都在二次函数y=−x−22+c的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（ ） A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 【中考链接3】在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A−1,5,B1,2,C2,1,D3,−1,E5,5．若抛物线y=ax−22+ka>0经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（ ） A．38 B．49 C．23 D．34 题型03 二次函数的几何变换（平移和对称） 【典例1】将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式是( ) A．y=(x−2)2−3 B．y=(x−2)2+3 C．y=(x+2)2−3 D．y=(x+2)2+3 【典例2】若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是−5,0,3,0，则这条抛物线的对称轴为___________． 【变式1】在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2+2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A．−2,6 B．−2,8 C．−2,−8 D．2,−8 【变式2】将抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=12x2+x−4关于y轴对称，则b、c的值为（ ） A．b=−1，c=6 B．b=−1，c=−2 C．b=1，c=−2 D．b=1，c=6 【变式3】将抛物线y=2x2平移，得到抛物线y=2x+32+5，下列平移方式中，正确的是（ ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【变式4】已知二次函数的图象过点P5,4，对称轴为直线x=2，则这个函数图象必过点（ ） A．−1,4 B．0,3 C．2,4 D．3,4 【变式5】抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过四点：m−1,−t，0,−k，1,t，2−m,−t，其中t≠0，则下列选项中，值不变的是（ ） A．t−k B．k−2t C．tk D．tk 【中考链接1】将抛物线y=x2−6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【中考链接2】如图，关于x的二次函数y=x2−2mx+m2+1的图像为抛物线C，直线y=a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a=_________． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线的对称轴为直线x=−3，且经过点A−1,0，B−2,−6，求抛物线的解析式． 【变式1】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(2,1)、B(3,1)和C(4,2)，那么a+b+c的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A−1,0和C0,1．若此抛物线的顶点在第一象限，设t=a+b+c，则t的取值范围是（ ） A．t>0 B．0y2>y1 D．y2>y1>y3 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y=−2x−202+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（ ） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 7．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线y=−x2+bx+c过点1,0，3,0，则抛物线顶点坐标为（ ） A．2,1 B．2,2 C．2,3 D．3,2 8．将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A．y=(x+2)2−2 B．y=(x+2)2+3 C．y=(x−2)2−2 D．y=(x−1)2+3 9．若抛物线y=x2+x−1与x轴的交点坐标为m,0，则代数式m2+m+119的值为（ ） A．118 B．119 C．120 D．121 10．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A1,−5和B0,−8． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当−2≤x−3 B． m