人教版（2024）九年级上册（2024）26.3 二次函数与一元二次方程精品同步训练题

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知识点01
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间的关系：
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
【即学即练】
1．关于抛物线y=x2−6x+7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x=−3
C．与x轴的交点坐标是0,7D．顶点坐标是3,−2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项．
【详解】解：∵抛物线的解析式为y=x2−6x+7，其中a=1，b=−6，c=7
∵a=1>0
∴抛物线开口向上，故选项A错误．
∵对称轴为直线x=−b2a=−−62×1=3
∴选项B错误．
∵当x=0时，y=7，即抛物线与y轴交点为0,7，而与x轴交点需满足y=0，故选项C错误．
∵将解析式配方得y=x−32−2
∴顶点坐标为3,−2，故选项D正确．
2．抛物线y=x2−4x+3与x轴交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
【答案】C
【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数．
【详解】解：当y=x2−4x+3=0时，
Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×3=16−12=4>0，
∴该方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2−4x+3与x轴交点的个数为2．
3．如图为二次函数y=x2−3x−1的图象，下列表述正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为y轴
B．当x>54时，y的值随x值的增大而增大
C．一元二次方程x2−3x−1=0的两个根均为正数
D．一元二次方程x2−3x−1=0的一个根在3和3.5之间
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质．
根据二次函数解析式可求解对称轴可判断A选项，根据函数的对称轴可判断函数的增减性可判断B选项，根据二次函数的图象与x轴的交点可判断CD选项．
【详解】解：A选项，二次函数为y=x2−3x−1，
∴对称轴为x=−−32×1=32，不是y轴，故错误；
B选项，当x>32时，y的值随x值的增大而增大，
而54