数学九年级上册（2024）27.1 反比例函数的概念精品精练

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知识点01
反比例函数的概念
1.反比例函数的定义
一般地，形如 y=kx （k为常数k≠0）的函数叫作反比例函数。
自变量：x 是自变量。
取值范围：自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数。
根本原因：当x=0 时，分式无意义（分母不为零）。
2.反比例函数的判断标准
判断两个变量是否构成反比例函数关系，要看它们是否满足“两个变量的乘积等于一个非零常数”，即xy=k (k≠0)
【即学即练】
1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．y=3x+1B．y=x2−2C．y=x4D．y=3x
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：y=kx且k为常数，k≠0，
y=3x+1，y=x4为一次函数，y=x2−2为二次函数，y=3x为反比例函数，
因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数．
故选：D．
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y=x4B．y=3x−1C．xy=5D．y=12x
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式：y=kxk≠0或y=kx−1或xy=k的函数是反比例函数．据此解答即可．
【详解】解：A．y=x4是正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意；
B．y=3x−1是反比例函数，故该选项不符合题意；
C．xy=5是反比例函数，故该选项不符合题意；
D．y=12x是反比例函数，故该选项不符合题意．
故选：A．
3．若函数y=m−1xm2−2是反比例函数，则m的值是（ ）
A．±1B．−1C．0D．1
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知m−1≠0m2−2=−1，解出m的值即为本题答案．
【详解】解：∵函数y=m−1xm2−2是反比例函数，
∴m−1≠0m2−2=−1，解得：m≠1m=±1，
∴m=−1，
故选：B．
知识点02
反比例函数解析式的三种等价变形
定义式y=kx 是基础，但以下另外两种形式在解题时经常被应用：
①标准分式形式：y=kx (x≠0)
②隐含乘积形式：xy=k (k≠0)
应用：当题目告诉“变量y与x成反比例”或给出点坐标、图形面积时，利用xy为定值这一性质可以快速求解。
③负指数幂形式：y=k⋅x−1 (k≠0)
应用：在分析函数增减性、与一次函数二次函数结合时，这个形式与正比例函数y=kx有对称的美感。
【即学即练】
4．点−2,4在反比例函数y=kx的图像上，则k值为（ ）
A．−8B．2C．−2D．−12
【答案】A
【分析】把点的坐标代入反比例函数即可得到答案．
【详解】解：∵点−2,4在反比例函数y=kx的图像上，
∴将点的坐标代入函数中，即4=k−2，
解得k=−8，
故答案选：A．
5．反比例函数y=−6x的图象一定经过的点是（ ）．
A．−2,−4B．2,3C．−3,2D．−2,−3
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征是关键．
根据反比例函数的性质，点x,y在函数y=−6x的图象上，需满足xy=−6，逐一判断即可．
【详解】解：在反比例函数 y=−6x 中，k=xy=−6，
对于选项A，−2×−4=8≠−6，故A错误；
对于选项B，2×3=6≠−6，故B错误；
对于选项C，−3×2=−6，故C正确；
对于选项D，−2×−3=6≠−6，故D错误．
故选：C．
6．已知反比例函数y=4x，则它的图象经过点（ ）
A．(2,8)B．(−1,4)C．(4,1)D．(2,−2)
【答案】C
【分析】由反比例函数y=4x可得：xy=4，代入各个选项的坐标点即可求解．
【详解】解：由反比例函数y=4x可得：xy=4
2×8=16，故A选项不符合题意；
−1×4=−4，故B选项不符合题意；
4×1=4，故C选项符合题意；
2×(−2)=−4，故D选项不符合题意．
故选：C
知识点03
从现实情境中抽象出反比例函数
现实情景中常见的反比例函数模型
①行程问题：路程s一定时，平均速度v与运行时间t成反比例。⇒v=st
②几何面积问题：矩形面积S一定时，相邻两边长y 与x 成反比例。⇒y=Sx
③生活总量问题：总流量（总工作量）一定时，平均每天使用量Q与天数t 成反比例。⇒Q=总量t
【即学即练】
7．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：kmh）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（ ）
A．v=480tB．v+t=480C．v=80tD．v=t−6t
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键．
本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系．
【详解】解：∵ 去程速度 v0=60km/h，时间 t0=8h，
∴ 路程 s=v0×t0=60×8=480km，
返回时，路程s不变，且匀速返回，
∴ v×t=s=480，
∴ v=480t，
故：函数关系式为 v=480t．
故选：A．
8．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽B．圆的半径和面积
C．一个人的身高与他的年龄D．圆柱的体积一定，它的底面积和高
【答案】D
【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断．
两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断．
【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽）×2，长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意；
B、因为圆的面积=2×半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意；
C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意；
故选：D．
9．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量Vm3天与完成运送任务所需时间t（天）满足（ ）
A．反比例函数关系B．正比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】A
【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：V=104t，
∴V与t满足反比例函数关系．
故选：A．
题型01 根据定义判断是否为反比例函数
【典例1】下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=32x+1C．y=x22D．y=32x
【答案】D
【分析】根据反比例函数定义，形如y=kx（k为常数，k≠0，x≠0）的函数为反比例函数，逐项判断即可．
【详解】解：选项A：y=x3是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.；
∵选项B：y=32x+1的分母是关于x的一次二项式，不符合定义形式，B错误；
选项C：y=x22是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.；
选项D：y=32x可变形为y=32x，其中k=32≠0，符合反比例函数的定义，D正确．
（1）考查方向：考查对反比例函数定义的识别，能判断函数是否符合 y=kx 、xy=k或y=k⋅x−1的形式。
（2）核心方法：抓住两个关键条件一是变量乘积为非零常数，即 xy=k；二是 x 的指数为 -1，且比例系数k≠0。

【变式1】为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米
B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米
C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米
D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义y=kx（k 为常数，x≠0），逐一分析各选项中的函数关系．
【详解】解：A．栽种总面积y=6x，为正比例函数，故A不符合题意；
B．栅栏周长2x+y=80，得y=40−x，为一次函数，故B不符合题意；
C．圆面积y=πx2，为二次函数，故C不符合题意；
D．总工作量2000=x⋅y，得y=2000x，符合反比例函数，故D符合题意．
故选：D．
【中考链接1】（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【中考链接2】（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．酒精浓度越大，心率越高B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是10%时，心率是168次/分D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【答案】C
【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项．
【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是10%时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标(5%，192)，(10%，168)，因为192×5%≠168×10%，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误．
故选∶ C．
题型02 根据反比例函数的定义求参数
【典例1】若点P3,2在反比例函数 y =k+1x的图像上，则k=______．
【答案】5
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入解析式即可求解k．
【详解】解：因为点P3,2在反比例函数y=k+1x的图象上，
将x=3，y=2代入解析式得：2=k+13，
等式两边同乘3得：k+1=6，
解得k=5．
（1）考查方向：考查由反比例函数的形式或图象经过的点求参数，常见于含字母系数或指数的函数表达式。
（2）核心方法：若由表达式判断，则令 x 的指数等于-1，并保证系数不为 0；若由点求参数，则代入点坐标，利用k=xy求解。​

【变式1】若函数y=k−2xk2−5是反比例函数，则k=____．
【答案】−2
【分析】反比例函数满足x的次数为−1，且系数不为0，据此列方程和不等式求解即可．
【详解】解：∵函数y=k−2xk2−5是反比例函数，
∴k−2≠0，k2−5=−1
∴k≠2，k=±2
∴k=−2．
【变式2】若反比例函数y=kx的图象经过A3,−4，Ba−1,−6两点，则a的值为（ ）
A．−3B．3C．2D．−6
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值．
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A3,−4，
∴k=3×−4=−12；
∵点Ba−1,−6在该反比例函数图象上，
∴a−1×−6=−12，
解得a=3．
【变式3】已知反比例函数y=a−2x（a为常数）的图象经过第一、三象限，则a的值可以是（ ）
A．−1B．0C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，灵活运用反比例函数图象所在象限与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数的性质得到a−2>0，进而求出a的取值范围，再结合选项选出符合条件的a的值．
【详解】∵反比例函数y=a−2x的图象经过第一、三象限，
∴a−2>0，
∴a>2，
结合选项，只有3满足a>2，
故选：D．
【中考链接】（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过Ma,−3，N2,b两点，若a0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
4000≥80v，
解得v≤50，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0b>aB．b>a>cC．a>c>bD．b>c>a
【答案】C
【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，再比较大小即可．
【详解】∵点Aa,4，B1,b，C2,c都在反比例函数y=−4x的图象上，
∴把Aa,4代入得4=−4a，解得a=−1，
把B1,b代入得b=−41=−4，
把C2,c代入得c=−42=−2，
∵−1>−2>−4，
∴a>c>b．
5．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A．y=x5000B．y=50003xC．y=5000xD．y=3500x
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键．
根据“总成本=每只成本×数量”的等量关系，列出y与x的关系式．
【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为y元，数量为x只，
∴5000=y×x，
∴y=5000x，
故选：C．
B组·能力提升
6．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y=2026xB．y=−2026x−1
C．xy=−2026D．y=x2026
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为y=kx，xy=k或y=kx−1，其中k为常数且k≠0，根据反比例函数的定义分别进行分析即可．
【详解】解：A、y=2026x，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=−2026x−1，即y=−2026x，是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、xy=−2026，即y=−2026x，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y=x2026，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
7．已知，点A(m,n)在反比例函数y=−2x的图象上，下列判断正确的是（ ）
A．若n>−2，则m>1B．若n