初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程优秀课后练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程优秀课后练习题，文件包含第二十六章二次函数-单元知识点复习讲义+题型练习含答案解析docx、第二十六章二次函数-单元知识点复习讲义+题型练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

知识点01
根据实际问题列一元二次方程的步骤
1.一元二次方程解决实际问题的基本步骤
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系；
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
③列：根据题中的 ，用含所设未知数的 表示其他未知量，从而列出方程；
④解：选择适当的方法，准确求出方程的解；
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题；
⑥答：写出答案。
【即学即练】
1．列一元二次方程解用用题的一般步骤：
（1）审题，明确已知和未知；
（2）找相等关系，设未知数；
（3）_____________；
（4）_____________；
（5）检验根的合理性；
（6）作答．
2．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+(x−3)=(x−3)2B．10(x+3)+x=x2
C．10x+(x+3)=(x+3)2D．10(x+3)+x=(x+3)2
知识点02
运用一元二次方程解决常见实际问题
1.与图形有关的静态几何问题
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
2.传播问题
①传播2次计算公式： 。
②开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 。
3.平均增长率问题
若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x，计算公式：
①平均增长类型： 。
②平均下降类型： 。
4.握手、循环赛问题
①握手问题（及单循环赛制）：设有x个人互相握手（或x支球队进行单循环赛，即每两队之间只赛一场）；每一个人都要与其他(x−1) 个人握手，每一对组合都被重复计数了两次，因此，实际握手的总次数为12x(x−1)=b
②双循环赛问题：设有x 支球队进行主客场双循环比赛，一次在主场，一次在客场，所以比赛双方不需要考虑“组合重复”的问题，总场次不需要除以 2。总场次直接为x(x−1)=b。
5.销售利润问题
计算公式：总利润＝
现单利＝
现数量＝
6.其他实际问题
还有数字问题、动态几何问题、工程问题、行程问题等其他实际问题，均根据题目条件抽象出一元二次方程的等量关系来进行解决。
【即学即练】
3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（ ）
A．xx−12=864B．xx+12=864
C．x+x−12x=864D．(x+x+12)2=864
4．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A．1+2x=168B．1+x2=168
C．x+x2=168D．1+x+x1+x=168
5．为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．21.61+x2=15B．21.61−x2=15
C．151+x2=21.6D．151−x2=21.6
6．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有x个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．xx−12=21B．xx+12=21
C．xx−1=21D．xx−2=21
7．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（ ）
A．200−x20+x=1400B．200−120−x20+2x=1400
C．200−x20+2x=1400D．200−120−x20+x=1400
8．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．多长时间后，能使△PBQ的面积为15cm2？（ ）
A．3秒或5秒B．5秒C．3秒D．8秒
9．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A．6210x−1=3x−1B．6210x−1=3x
C．6210x=3D．6210x=3x−1
题型01 由实际问题抽象一元二次方程
【典例1】某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（ ）.
A．20−2x15−x=248B．20x+2×15x−2x2=248
C．20×15−20x−15x+2x2=248D．20−x15−x=248
（1）考查方向：几何面积问题、平均增长率或下降率问题、传播问题、握手或循环赛问题、数字问题、数学文化背景题等。
（2）核心方法：列方程的关键是抓住题目中的等量关系。解题时先审清题意，明确已知量和未知量；再根据题意设未知数，并用含未知数的代数式表示其他相关量；最后列出方程。

【变式1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ）
A．2x2+82=5x−82B．2x2+82=5x2
C．5x2+82=2x−82D．2x2=5x−82+82
【变式2】随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2000(1−x)2=1000B．2000(1+x)2=1000
C．2000(1+x)2=2000+1000D．2000(1+2x)=2000+1000
【变式3】小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了x名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了x名同学，这样全班共有m人会做该题，则可列方程为（ ）
A．1+x+x2=mB．1+x+xx+1=m
C．x+xx+1=mD．x+x+12=m
【变式4】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（ ）
A．5支B．6支C．7支D．8支
【中考链接】2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ）
A．12n(n−1)=136B．n(n−1)=136
C．12n(n+1)=136D．n(n+1)=136
题型02 一元二次方程的实际应用
【典例1】春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（ ）
A．x−208+20−x0.5×4=144B．20−128−x−200.5×4=144
C．x−128+20−x0.5×4=144D．x−128−20−x0.5×4=144
（1）考查方向：考查学生能否利用一元二次方程完整解决实际问题，不仅要会列方程，还要会解方程、检验根的合理性并作答。
（2）核心方法：先建模列方程，再解方程，最后结合实际意义取舍答案。​

【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cms的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（ ）s
A．2B．4C．10D．2或10
【变式2】某市2010—2012年的国民生产总值（GDP）的年平均增长率为x%，其中2010—2011年增长率12%，2011—2012年增长率为7%，则下列方程成立的是（ ）
A．12%+7%=x%B．12%+7%=2⋅x%
C．(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2D．(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)
【变式3】化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+x=43B．x2+x+1=43
C．x+12=43D．x2+1=43
【变式4】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
【中考链接】某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．12001+x=1600B．12001+2x=1600
C．12001+x2=1600D．16001−x2=1200
A组·基础过关
1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人．
A．10人B．11人C．12人D．13人
2．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3001+x2=363B．3001+x2=363
C．300+3001+x2=363D．3001+2x=363
3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．x+22+x−42=x2B．x−22+x−42=x2
C．x2+x−22=x−42D．x−22+x2=x+42
4．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为x，则根据题意可列方程为_____．
5．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人．
B组·能力提升
6．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（ ）
A．25B．26C．28D．30
7．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．甲，乙两人分别骑车从A,B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A．2,6B．12,16C．16,20D．20,24
9．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即AB⊥BC，已知AB=15cm，BC=12cm．甲机器人从点C沿CB方向以每秒2cm的速度爬行，同时乙机器人从点A沿AB方向以每秒3cm的速度爬行．设运动t秒后，分别到达点N，M的位置，这时△MNB的面积恰好为27cm2，由题意可列方程为（ ）
A．2t⋅3t=27B．15−3t12−2t=27
C．15−3t⋅2t=27D．15−3t12−2t=54
10．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的65倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个．
(1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？
(2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？
C组·拓展延伸
11．某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示：
(1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数y=ax2+bx−12，根据图表，求出二次函数解析式；
(2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足y=4x−ax−35．请预计第几天新增病例清零；
(3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由．
12．2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个．
(1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______；
(2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？
13．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人．
(1)填空：根据题意，可列方程： ；
(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
14．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?
15．综合与实践
【项目主题】
班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架．
【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为1m，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：1+2+3+⋅⋅⋅+n=nn+12（n为正整数）．
【项目分析】
第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3；
第2个展览架中花卉的盆数为2+3，盆景的盆数为6；
第3个展览架中花卉的盆数为5+6，盆景的盆数为10；
第4个展览架中花卉的盆数为9+10，盆景的盆数为15；
…
【项目实施】
按照以上规律，解答下列问题：
(1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___
(2)第n（n为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____；
(3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长．
教学目标
1.掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤；
2.能够熟练的从各种实际问题中抽象出一元二次方程并解决问题。
教学重难点
1.重点
（1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤；
（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；
2.难点
（1）从数学文化和实际数学问题的表达中抽象出一元二次方程；
（2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题；
（3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。
x
1
2
3
4
……
11
12
y
1
16
33
53
……
241
276