人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品一课一练

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知识点01
一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程根与系数的关系
由公式法可知，若一元二次方程的Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出：
① ；
② 。
2.常见变形
（1）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2；
（2）x12x2+x22x1=x1x2(x1+x2)；
（3）1x1+1x2=x1+x2x1x2；
（4）x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2；
（5）(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−4x1x2
（6）(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p2
（7）1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2
（8）|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2
【即学即练】
1．已知m，n是方程x2−3x+1=0的两根，则m2n+1+n的值为___________．
2．已知方程x2−4x−2=0的两个解是x1、x2，那么1x1+1x2=__________．
3．设x1，x2是方程x2−3x−3=0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为________．
4．已知a,b是方程x2−3x−8=0的两个实数根，则代数式a2−4ab+b2的值为____．
5．若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有一个根是x=1，求m的值及方程的另一个根．
题型01 根与系数关系的基础应用
【典例1】若α，β是一元二次方程x2−5x−3=0的两个实数根，则αβ的值为（ ）
A．−3B．−5C．3D．5
（1）考查方向：根据方程求x1+x2、x1x2；根据两根和或两根积求简单代数式；已知方程一个根，利用两根和或两根积求另一个根；由两个根反推方程中的简单关系。
（2）核心方法：先把方程化为一般形式，再确定a,b,c，最后代入根与系数关系。已知一个根时，可优先用两根和或两根积求另一个根；若常数项较简单，常用积的关系更快。

【变式1】若一元二次方程x2+2x=3的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式2】若关于x的方程 3x2−19x+k=0的一个根是1，则另一个根为（ ）
A．163B．193C．223D．319
【变式3】已知实数a、b是关于x的方程x2+x−1=0的两根，则ba+ab的值为（ ）
A．−1B．−3C．−1+52D．−2
【中考链接】已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−9=0的两个根，则x1+x2−2x1x2的值为（ ）
A．16B．−16C．20D．−20
题型02 根与系数关系的变形拓展式求值
【典例1】已知x1和x2是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，则x12+x22的值为（ ）
A．6B．2C．−4D．3
（1）考查方向：把含两根的复杂代数式转化为x1+x2和x1x2的形式，进行变形拓展式求值。
（2）核心方法：先变形，后代入；尽量转化为两根和与两根积。​

【变式1】若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两根，则x12x2+x1x22的值为______.
【变式2】若x1，x2是方程x2−3x−5=0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）
A．−35B．35C．53D．−53
【变式3】已知α、β是一元二次方程x2+2x−9=0的两根，则βα+αβ的值等于（ ）
A．−229B．229C．−49D．49
【变式4】设x1，x2是方程x2−3x+1=0的两根，则x1+x2=( )
A．3B．5C．3D．5
【变式5】已知α，β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则代数式1+2024α+α21+2025β+β2的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【中考链接1】若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【中考链接2】已知x1，x2是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式x13−2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
题型03 根的定义与根的系数关系综合求值
【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2x−2028=0的两个实数根，则m2+3m+n=（ ）
A．2029B．2028C．2027D．2026
（1）考查方向：已知 m,n 是方程的两个根，求含m2、n2、m3等代数式的值；利用某个根满足原方程进行降次；将高次式转化为低次式；再结合两根和、两根积进行整体代换。
（2）核心方法：先利用“根满足方程”降次，再利用“两根和、两根积”整体代换，最后化简求值。核心思路是：根的定义负责降次，根与系数关系负责整体求值。​

【变式1】若α,β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【变式2】已知x1，x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数x13−2024x1+x22的值是（ ）
A．4049B．4047C．2024D．1
【中考链接】已知m，n是关于x的方程x2+a−5x+7=0的两个实数根，则m2+ma+7n2+na+7的值是（ ）
A．175B．210C．245D．365
题型04 据根与系数关系求参数
【典例1】若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+3x+k2+k=0的两个根，且x1+x2=7−x1x2，则k的值为（ ）
A．−4或1B．−4C．1D．1或4
（1）考查方向：已知两根的和、积或倒数和求参数；已知两根互为倒数、互为相反数、满足某个代数关系求参数；含参数方程中，利用x1+x2和x1x2根的关系；求出参数后结合实根条件进行检验。
（2）核心方法：用根与系数表示根的关系—列参数方程—求参—检验。​

【变式1】已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是( )
A．3B．1C．3或−1D．−3或1
【变式2】若关于x的方程k+2x2+3x+k2=0的两根互为倒数，则k=（ ）
A．3B．1C．−1D．±1
【中考链接】若关于x的方程x2−2m+1x+m+4=0两根的倒数和为1，则m的值为___________．
题型05 根与系数关系、判别式相关的综合应用
【典例1】已知关于x的方程：x2+2kx+k2−3=0，其中k是常数．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m、n是此方程的两个根，当k=1时，求代数式2025−m2+2m+4n的值．
（1）考查方向：根据方程有实数根求参数范围；根据有两个不相等实数根确定参数条件；结合根与系数关系求参数；证明方程恒有实数根；在新定义问题中利用两根关系建立方程；在几何、函数背景中把边长、图象性质等转化为根的和与积。
（2）核心方法：判别式定根的存在与范围，根与系数关系定两根的数量关系，最后结合题意检验​

【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+1−2mx+m−3m2=0．
(1)当m=1时，解该一元二次方程；
(2)求证：无论m为何实数，方程总有实数根；
(3)若x1,x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=−5，求m的值．
【中考链接】设x1，x2是关于x的方程x−1x−2=m2的两根．
(1)当x1=−1时，求x2及m的值．
(2)求证：(x1−1)(x2−1)≤0．
A组·基础过关
1．已知a，b是一元二次方程x2+3x−10=0的两个实数根，则a+b=（ ）
A．3B．−3C．10D．−10
2．已知一元二次方程x2+4x+m=0的一个根为1，则另一个根为________．
3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−x+t=0的两个实数根，则x12+x22的最小值是______________．
4．若一元二次方程x2+3x=4的两根之和与两根之积分别为m，n，则点m,n在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ）
A．−3,−4B．3,−4C．3,4D．−3,4
5．已知关于x的一元二次方程x2+2m−1x+m2−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=3，求m的值．
B组·能力提升
6．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程x2−7x+9=0的两个根，则该三角形的周长等于（ ）
A．16B．11C．9D．7
7．对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：a⊙b=2x2−a+bx−ab+2，若关于x的方程1⊙2=0，已知该方程的两个根为x1、x2，则x1⋅x2的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2x+k=0的两个实数根，且x1+x2≤3−2x1x2，则k的取值范围是_____．
9．已知m，n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+4m+2n的值是________．
10．已知关于x的方程x2+2kx+k2−2k+1=0有两个实数根x1、x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若2x1+12x2+1=21，试求k的值．
C组·拓展延伸
11．若实数a，b满足a2−3a−5=0，b2−3b−5=0，且a≠b，则a−b的值为（ ）
A．±33B．±27C．±29D．1+132或1−132
12．若关于x的方程ax2+2ax−3=3(a≠0)的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>−1C．a