初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程优秀ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程优秀ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了实际问题，设未知数，列出方程，检验解的合理性，解方程，找等量关系，a²＋b²＝c²，10-x，2由题意可列方程，建立一元二次方程模型等内容，欢迎下载使用。
3. 通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性
问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？
追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？
探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数.
由勾股定理，得 x²＋(x＋1)²＝(x＋2)².
解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁.
例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题
解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m²，得
例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
x(20－x)＝96.
解方程，得 x1 = 12，x2 = 8.
追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域.
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：
(1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m；
(2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m；
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.
方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m；
根据矩形周长公式 (10 + x)(10 - x)＝96
解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2.
则其两邻边长分别为 12 m，8 m.
特点：方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程.方法二：利用“周长为 40，则长 + 宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值.
【练一练】1.将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
解：设一个正方形的周长为 x cm，则另一个正方形的周长为 (20－x) cm.
解此方程，得 x1＝16，x2＝4.所以两段铁丝的长度分别为 16 cm和 4 cm.
(1) 由题意可列方程
(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
此方程化为一般形式为 x2－20x＋104＝0.∵ b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16