第二十五章 一元二次方程 - 初中数学九年级上册 单元测试卷（人教版2024）

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第二十五章 一元二次方程（单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x+y=1 B．x2+x=1 C．x+1x=1 D．ax2+bx+c=0 2．关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根为−1，则m的值为（ ） A．−3 B．−1 C．1 D．2 3．关于x的一元二次方程−x2+2x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．1，2，5 B．−1,2,−5 C．1,2,−5 D．−1,2,5 4．不解方程，判断方程x2−4x−1=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 5．已知关于x的一元二次方程 kx2−3x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥−94 B．k>−94 C．k≥−94且k≠0 D．k>−94 且k≠0 6．关于x的方程ax2+8x−c=0的两根为1和−3，则a，c的值分别为（　　） A．a=4，c=−12 B．a=4，c=12 C．a=−4，c=12 D．a=−4，c=−12 7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−14x+m=0的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ） A．23 B．33 C．27 D．414 8．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为x，根据题意列出方程为（ ） A．xx−1=36 B．xx+1=36 C．12xx−1=36 D．12xx+1=36 9．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A．30−2x25−x=650 B．30x+2×25x−2x2=650 C．30×25−30x−25x+2x2=650 D．30−x25−x=650 10．设a、b是两个整数，若定义一种运算“Δ”，aΔb=a2+b2+ab，则方程x+2Δx=1的实数根是（　　） A．x1=x2=1 B．x1=0,x2=1 C．x1=x2=−1 D．x1=1,x2=−2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程2x2−1=3x化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是________． 12．已知关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根1，那么a+b+c=__________． 13．若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程x2−7x+m=0的两个根，则m的值为_____． 14．已知实数α，β满足3α2+5α−1=0，β2−5β−3=0且αβ≠1，则αβ的值为______． 15．已知一元二次方程ax2+bx−2=0的两个实根为x1，x2，若1x1+1x2=2，则a的取值范围为______． 16．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)x2+2x−3=0； (2)6x2−7x+1=0． 18．（8分）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：(x2−3)2−(x2−3)−2=0． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把x2−3视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设x2−3=m，则原方程换元为m2−m−2=0． (m−2)(m+1)=0，解得：m1=2，m2=−1 ∴x2−3=2或x2−3=−1． 解得x1=5，x2=−5，x3=2，x4=−2． 请参考例题解法，解下列方程： (1)x4−2x2−3=0； (2)x2+2x−2x2+2x−3=0． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k+1=0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2−4x+3=0． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)当m=1时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？ 21．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程x2−ax+a−1=0根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k=0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形△ABC的两边AB，AC的长是上述方程的两个根，当BC为5时，求k的值． 23．（10分）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当一千克荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根为x1和x2x1≤x2，分别以x1、x2为横、纵坐标得到点Px1,x2，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程x2=4x的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k=0的“两根点”，若点P在直线y=−x上，求“两根点”P的坐标．