第二十五章 一元二次方程 - 初中数学九年级上册 单元知识点复习讲义+题型练习（人教版2024）

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第二十五章 一元二次方程复习讲义知识点01一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。3.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法5.根与系数的关系（1）根与系数的基本关系若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为：。同时存在：。（2）常考变形拓展公式①。②。③。④。⑤。⑥。 = 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2 = 8 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑧|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2知识点02一元二次方程的实际应用1.列方程解实际应用题的步骤①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。2.一元二次方程实际应用的常见基本类型①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。⑤商品销售问题的基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋）⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。题型01 根据一元二次方程的定义求值【典例1】关于x的一元二次方程m+2x2+x+m2−4=0有一根为0，则m的值为______．【变式1】下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．2x−3y=5B．2x2−3=xC．x2+4=5yD．x2−4x−4=0【变式2】若关于x的一元二次方程ax2−bx+4=0的解是x=2，则2026+2a−b的值是________．【变式3】把一元二次方程x4x−1=2x+3化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）A．4，1，3B．4,−3,−3C．4,−2,3D．1,−3,−3【中考链接】已知方程x2+3x+c=0的一个根是1，则c=_____．题型02 根据一元二次方程的根代入求值【典例1】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a+b+c=0，那么下列四个判断中正确的是（ ）A．该方程一定有两个相等的实数根；B．该方程一定有两个不相等的实数根：C．该方程一定有一个实数根为x=1；D．该方程一定有一个实数根为x=−1．【变式1】一元二次方程 x2−4x−2=0的两根为a，b，则 a2−4a+ab 的值为______．【变式2】若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式a2+2a−1a−2026值是_________．【变式3】已知m，n是方程x2+4x−3=0的两个实数根，则m2+3m−n+12的值是______．【中考链接】若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为________．题型03 一元二次方程的解法【典例1】解方程：3x−12=42x+32【变式1】解下列方程：(1)x2+4x+2=0(配方法)；(2)3x2+2x−1=0(公式法)．【变式2】解方程：x2+6x+9=2−3x2．【变式3】关于x的方程ax+m2+b=0的根是x1=6,x2=−3（a,b,m均为常数，a≠0），则关于x的方程ax+m−42+b=0的根是（）A．x1=2,x2=−7B．x1=10,x2=1C．x1=−2,x2=7D．x1=−6,x2=3【中考链接】关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k−2=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1=2x2，求k的值．题型04 配方法的应用【典例1】用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0时，将它化为x+m2=n的形式，则m+n的值为（ ）A．−6B．−3C．0D．3【变式1】设m，n为实数，且W=2m2+2mn+n2−m−2n+2有最小值，则W的最小值为________．【变式2】新定义：关于x的一元二次方程a1(x−c)2+k=0与a2(x−c)2+k=0称为“同族二次方程”．例如：5(x−6)2+7=0与6(x−6)2+7=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程(m+2)(x+3−m2)2+n+5=0与2(x−1)2+1=0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是_____．【中考链接】已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．题型05 根的判别式、根与系数关系的应用【典例1】若5k+20>0，则关于x的一元二次方程 x2+4x−k=0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【典例2】关于x的方程x2+4x−m=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2=−9，则m的值为（ ）A．−5B．−3C．3D．5【变式1】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3kx−3=0的两个根，下列结论一定正确的是（ ）A．x1=x2B．x1+x2=−3C．x1⋅x2=−3D．无实数根【变式2】已知二次函数y=x2−2mx+m2+2m+3 的图像不经过第三、四象限，且当x>1 时，y 随x的增大而增大，则实数m 的取值范围是（ ）A．m>−32B．m≤1 C．−32