数学九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第2课时教学设计及反思

这是一份数学九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第2课时教学设计及反思，共18页。教案主要包含了核心素养目标，教学重点与难点，教学过程，板书设计，教学反思，补充说明等内容，欢迎下载使用。
一、核心素养目标
1. 数学抽象
从传染病传播、植物分支、成本变化等实际问题中抽象出一元二次方程模型
理解传播问题的递推规律和平均变化率问题的指数增长模型
2. 逻辑推理
通过特值分析法（从具体数字到字母变量）逐步推导传染模型的代数表达式
能辨析传播问题与树干问题的区别：第二轮是否继续传播
3. 数学建模
掌握传播问题公式 (1+x)² 和平均变化率公式 a(1±x)²=b 的建模过程
能根据实际问题的数量关系建立不同类型的一元二次方程
4. 数学运算
熟练运用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程
能根据实际意义合理检验并舍去不符合题意的根
二、教学重点与难点
教学重点：
1. 掌握传播问题的数量关系：1+x+x(1+x)=(1+x)²
2. 掌握平均变化率问题的基本公式：a(1±x)²=b
3. 能区分传播问题与树干问题的模型差异（第二轮初始源是否继续参与）
教学难点：
1. 理解传播问题中第二轮传染时传染源继续参与传染的递推逻辑
2. 区分「传播问题」与「树干问题」的第二轮传播模型差异
3. 理解平均下降额与平均下降率的区别（绝对量 vs 相对量）
4. 综合问题（增长率+利润）的多步骤建模能力
三、教学过程
环节一：情境导入（3-5分钟）
【教师活动】观看视频，了解传染病的特征和防护措施，引出问题：传染病的传播速度有多快？怎样用数学模型来刻画传播过程？
【互动提问】传染病为什么传播得这么快？你能用数学描述传染过程吗？
【学生活动】观看视频，感受传染病传播的速度，思考背后的数学规律。
【过渡语】今天我们就用一元二次方程来研究两类重要的实际问题——传播问题和平均变化率问题。先来看第一个探究。
【设计意图】从传染病视频引入，激发学生兴趣的同时渗透科学防疫意识。特值分析法（从具体到抽象）降低认知门槛，符合新授课学生的认知规律。
环节二：新知探究一——传播问题（15-18分钟）
探究一：传播问题
【问题呈现】某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
【特值分析】用特值分析法：假设每轮每人传染2人。第1轮后患病人数：(1+2)人；第2轮后患病人数：1+2+(1+2)×2人。注意：病源A在第二轮继续传染，不可忽视。
【规律发现】设每轮传染中平均一个人传染x个人。第1轮传染后：1+x人；第2轮传染后：1+x+x(1+x)=(1+x)²人。由此发现规律：经过n轮传染后，患病人数为(1+x)ⁿ人。
第1轮后：1 + x = (1+x)¹
第2轮后：1 + x + x(1+x) = (1+x)²
【列方程求解】由题意得 (1+x)²=121。直接开平方得 1+x=±11，解得 x₁=10，x₂=-12（不合题意，舍去）。答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
(1+x)² = 121
直接开平方：1+x = ±11
x₁ = 10，x₂ = -12（舍去）
【延伸思考】思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人？第3轮：在第2轮总人数(1+x)²基础上，新增x(1+x)²人，故第三轮后总人数=(1+x)²+x(1+x)²=(1+x)³。当x=10时，(1+10)³=1331人。
第3轮后：(1+x)² + x(1+x)² = (1+x)³
当x=10时：(1+10)³ = 1331（人）
【教师总结】1331人！从1人开始，仅三轮就能传染到1331人，这体现了阻止病毒传播的必要性和紧迫性。数学模型帮助我们看到传染病的指数增长威力。
传染传播示意图（特值分析法）
探究一拓展：树干分支问题
【问题呈现】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少个小分支？
【特值分析】用特值分析：假设每个支干长出2枝→总量=1+2+2²=7；假设每个支干长出3枝→总量=1+3+3²=13；假设每个支干长出n枝→总量=1+n+n²。
【列方程求解】设每个支干长出x个小分支。由题意得 1+x+x²=183，即 x²+x-182=0。因式分解：(x-13)(x+14)=0，解得 x₁=13，x₂=-14（舍去）。答：每个支干长出13个小分支。
(1+x)² = 121
直接开平方：1+x = ±11
x₁ = 10，x₂ = -12（舍去）
【对比辨析】对比归纳：(1)传播问题：1+x+x(1+x)=(1+x)²——传染源在第二轮继续传播；(2)树干问题：1+x+x²——主干在第二轮不再分支，只有支干分支。两个模型的关键区别：第二轮时初始源是否继续参与。
植物主干支干分支示意图
探究二：平均变化率问题
【问题呈现】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大？
【思考讨论】思考：年平均下降额等同于年平均下降率（百分数）吗？甲的年平均下降额=(10000-6000)÷2=2000元；乙的年平均下降额=(12000-7200)÷2=2400元。但下降率是百分比，需解方程。
【学生活动】小组讨论，代表发言。
【列方程求解】设甲种食品成本的年平均下降率为x。由题意：10000(1-x)²=6000，(1-x)²=0.6，1-x=±√0.6，解得 x₁≈0.225=22.5%，x₂≈1.775（大于1，舍去）。同理，乙：12000(1-y)²=7200，(1-y)²=0.6，解得 y₁=22.5%，y₂舍去。结论：甲乙下降率相同，均为22.5%。
(1+x)² = 121
直接开平方：1+x = ±11
x₁ = 10，x₂ = -12（舍去）
【对比辨析】甲的年平均下降额为2000元，乙为2400元→乙的下降额更大。但下降率都是22.5%→相同。结论：成本下降额大的食品，其成本下降率不一定也大。下降额表示绝对变化量，下降率表示相对变化量，两者要兼顾才能全面比较。
【归纳公式】一般公式：若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则 a(1±x)ⁿ=b。其中增长取「+」，降低取「−」。当n=2时，a(1±x)²=b。
a(1 ± x)ⁿ = b
其中：a为初始量，x为增长（降低）率，n为期数，b为最终量。增长取「+」，降低取「−」。
环节三：例题精讲——公式变式应用（8-10分钟）
例题：身高增长率比较
【题目】小明2024年秋季升入七年级时身高140cm，小林2024年秋季身高145cm；2026年秋季升入九年级时小明身高169.4cm，小林身高170cm，谁身高的年平均增长率更大？
【思路分析】本题将「下降率」模型变为「增长率」模型，公式中用「+」。需注意：(1)两年为两期，n=2；(2)分别设两人增长率为x和y，独立求解后比较。
设小明身高的年平均增长率为x：140(1+x)²=169.4
解得 (1+x)²=1.21，1+x=±1.1，x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（舍去）
设小林身高的年平均增长率为y：145(1+y)²=170
解得 (1+y)²≈1.1724，1+y≈±1.083，y₁≈0.083=8.3%，y₂舍去
∵ 10% > 8.3%，∴ 小明同学身高的年平均增长率更大。
环节四：课堂练习（10-15分钟）
基础巩固
1. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程可列为（ D ）
A. (n+1)²=1641
B. (n-1)²=1641
C. n(n+1)=1641
D. 1+n+n²=1641
【答案】D
【解析】这是树干型问题——第一人发出后不再参与第二轮发出，与树干分支模型相同。总人数=1+n+n²=1641。
2. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ B ）
A. 80(1-x²)=60
B. 80(1-x)²=60
C. 80(1-x)=60
D. 80(1-2x)=60
【答案】B
【解析】平均下降率公式：a(1-x)²=b，其中a=80，b=60。
3. 某生物实验室需培育一群有益菌。现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个固定数目的有益菌。（1）每轮分裂中一个有益菌可分裂成多少个有益菌？（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培育后共有多少个有益菌？
【答案】（1）20个；（2）480000个
【解析】（1）设每轮分裂成x个。由60x²=24000，x²=400，x=20（x=-20舍去）。（2）24000×20=480000。
4. 某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同。（1）求该跳绳销售量的月增长率；（2）若此种跳绳的进价为30元/条，当售价为40元/条时月销售量为600条，若售价每上涨1元月销售量减少10条，为使月销售利润达到10000元且尽可能让顾客得到实惠，售价应定为多少元/条？
【答案】（1）20%；（2）50元/条
【解析】（1）设月增长率为x：300(1+x)²=432，(1+x)²=1.44，1+x=±1.2，x=0.2=20%。 （2）设售价a元，利润=(a-30)(1000-10a)=10000，a²-130a+4000=0，(a-50)(a-80)=0，a=50或80。考虑让顾客得实惠，取a=50。
环节五：课堂小结（2-3分钟）
【教师引导】本节课我们学习了两类重要的实际问题，请同学们回顾：传播问题有哪些模型？平均变化率公式是什么？两个模型的核心区别在哪里？
【课堂互动】学生回答，教师补充板书。
◆ 传播问题：
传染模型（源继续传播）：1+x+x(1+x)=(1+x)²
树干模型（源不再分支）：1+x+x²
两者关键区别：第二轮时初始源是否继续参与
◆ 平均变化率问题：
公式 a(1±x)ⁿ=b（增长取+，降低取−）
当n=2时 a(1±x)²=b
下降额（绝对量）≠ 下降率（相对量）
检验：舍去负根和大于1的增长/下降率
四、板书设计
25.3 课时2 传播问题与平均变化率问题
一、传播问题（两种模型）
1. 传染模型：1+x+x(1+x)=(1+x)²
特点：传染源在每轮都继续传播
2. 树干模型：1+x+x²
特点：主干第二轮不再分支
二、平均变化率问题
公式 a(1±x)ⁿ=b（n=2时，a(1±x)²=b）
★ 下降额（绝对量）≠ 下降率（相对量）
★ 检验：舍去负根、大于1的率
五、教学反思
1. 传染病视频导入是否有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望？
2. 特值分析法（从具体数字2→字母x）的过渡是否自然？学生能否自主推导出(1+x)²的规律？
3. 传播问题与树干问题的对比辨析是否清晰？学生能否准确判断「第二轮初始源是否继续参与」？
4. 平均变化率中「下降额vs下降率」的区分，学生是否真正理解了绝对量与相对量的本质差异？
5. 身高增长率的例题作为公式变式应用，学生能否独立从「降低」模型迁移到「增长」模型？
6. 四道课堂练习的梯度设计（辨模型→选公式→解方程→综合应用）是否有效分层检测？
六、补充说明
本节课是25.3的第二课时，在第一课时（几何问题）的基础上，继续探索一元二次方程在传播问题和平均变化率问题中的应用。
两类问题中，传播问题需要重点辨析两种模型的差异——传染模型（源继续传播）与树干模型（源不再分支）。学生容易混淆两模型，建议通过特值分析法和表格对比来强化区分。
平均变化率问题中，「下降额」与「下降率」的概念辨析是教学难点。学生常常认为下降额大意味着下降率大，需要通过例题（甲2000元/22.5% vs 乙2400元/22.5%）来纠正这一错误认知。
练习4（跳绳问题）是综合应用题，融合了增长率模型和利润函数建模两个知识点，对学生的综合能力要求较高。建议在课堂练习时间充裕时详细讲解，时间紧张时可留作课后思考。课题
25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均变化率问题）
课型
新授课
课时
1课时（45分钟）
教材版本
人教版
授课对象
九年级学生
授课时间
年 月 日
教学方法
情境教学法、探究法、讲练结合法
教学用具
多媒体课件
? ? 理解要点：传播问题的核心是：(1)每一轮所有已感染的人都继续传播；(2)第n轮后总人数=(1+x)ⁿ。这是一个指数增长模型。
⚠️ ⚠️ 易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。
⭐ ⭐ 重点强调：传染病传播是指数增长！1人→3轮→1331人，这就是为什么我们必须及时阻断病毒传播。数学让我们看到了科学防疫的依据。
⚠️ ⚠️ 易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。
模型
两轮后公式
第二轮初始源
典型问题
传染模型
(1+x)²
继续传播
流感、病毒传染
树干模型
1+x+x²
不再分支
植物分支、微博转发
? ? 判断技巧：判断用哪个模型的方法：看「源」在第二轮还「动」不「动」。源继续传播→(1+x)²；源停止→1+x+x²。
⚠️ ⚠️ 易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。
模型
两轮后公式
第二轮初始源
典型问题
传染模型
(1+x)²
继续传播
流感、病毒传染
树干模型
1+x+x²
不再分支
植物分支、微博转发
? ? 判断技巧：判断用哪个模型的方法：看「源」在第二轮还「动」不「动」。源继续传播→(1+x)²；源停止→1+x+x²。
⭐ ⭐ 重点强调：当n=2时，公式简化为 a(1±x)²=b。这是中考最常见的考查形式。
? ? 判断技巧：注意：身高问题看似是说「小明比小林高」，但最终比较的是「增长率」，不是绝对身高。这正好呼应下降额≠下降率的辨析。