初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法精品习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法精品习题，共11页。试卷主要包含了因式分解法的定义，因式分解具体方法，因式分解法解一元二次方程的步骤等内容，欢迎下载使用。

知识点01
因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的定义
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若ab=0，则a＝ 0 或b＝ 0 。
2.因式分解具体方法
①提公因式法： m（a+b+c） ；
②逆用公式法：平方差公式： a+ba−b ；
完全平方公式： a±b2 ；
③十字相乘法：分解，若且，则 x+mx+n 。
3.因式分解法解一元二次方程的步骤
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练】
1．如果m和n是方程x2+px+q=0的两个根，则多项式x2+px+q可以分解因式为（ ）
A．x+mx+nB．x−mx+n
C．x−mx−nD．x+mx−n
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由m和n是方程的两个根可得x−mx−n=0，进而可得x2+px+q=x−mx−n，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键．
【详解】解：∵m和n是方程x2+px+q=0的两个根，
∴x−mx−n=0，
即x2+px+q=x−mx−n，
∴多项式x2+px+q可以分解因式为x−mx−n，
故选：C．
2．分解因式x2y−3+x3−y的正确结果是（ ）
A．y−3x2+xB．xy−3x+1
C．y−3x2−xD．xy−3x−1
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的3−y可转化为−y−3，从而与第一项形成公因式y−3，提取公因式后进一步分解即可．
【详解】解：原式=x2y−3+x⋅−y−3
=x2y−3−xy−3
=y−3x2−x
=xy−3x−1，
故选：D．
3．分解因式：x3−6x2+9x=（ ）
A．xx−32B．xx2−6x+9
C．xx+32D．x2x−6+9x
【答案】A
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算方法是解题的关键．
先提取公因式x，再利用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】解：x3−6x2+9x=xx2−6x+9=xx−32．
故选：A．
4．下列各式计算中，正确的是（ ）
A．x4+x2=x6B．−x2y3=x6y3
C．a+b2=a2+ab+b2D．x2−3x−4=x+1x−4
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解，根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解的运算法则逐项计算，即可判断．
【详解】解：解：A、x4与x2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意；
B、−x2y3=−x6y3，原计算错误，故B不符合题意；
C、a+b2=a2+2ab+b2，原计算错误，故C符合题意；
D、x2−3x−4=x+1x−4，原计算正确，故D符合题意．
故选：D．
5．用因式分解法解方程
（1）解方程：4x2=x−32
【答案】x1=1，x2=−3
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用平方差公式进行因式分解计算即可．
【详解】解：4x2−x−32=0，
2x+x−3(2x−x+3)=0
(3x−3)(x+3)=0，
3x−3=0或x+3=0，
x1=1，x2=−3．
（2）解方程：x2+10x+21=0．
【答案】x1=−3，x2=−7
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．
用因式分解法解方程即可．
【详解】解：分解因式，得x+3x+7=0，
∴x+3=0或x+7=0，
解得x1=−3，x2=−7．
（3）解方程：2x2−3x−2=0．
【答案】x1=2,x2=−12
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵2x2−3x−2=0，
∴x−22x+1=0，
∴x−2=0或2x+1=0，
∴x1=2,x2=−12
知识点02
换元法解一元二次方程
换元法解方程
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式x2−4x+1x2−4x+2−12．
解：设x2−4x=y，
=y+1y+2−12
=y2+3y−10
=y+5y−2
=x2−4x+5x2−4x−2
【即学即练】
6．用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的方程是（ ）
A．y−y3=0B．y−y3+1=0C．y−3y+1=0D．y−13y+1=0
【答案】D
【分析】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，复杂问题简单化，变得容易处理．
直接把x2+1x换成y，整理即可．
【详解】解：已知分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，
设x2+1x=y，
则原方程化为y−13y+1=0，
故选：D．
7．我们知道方程x2+2x−3=0的解是x1=1，x2=−3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=−3
C．x1=−1，x2=3 D．x1=−1，x2=−3
【答案】D
【分析】把方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果．
【详解】把方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
∴2x+3=1或2x+3=−3，
∴x1=−1，x2=−3．
故选D．
8．若x2+y22+2x2+y2=0，则x2+y2=_____．
【答案】0
【分析】本题考查了换元法解方程及非负数的性质，解题的关键是通过换元将方程转化为一元二次方程，再结合x2+y2的非负性求解．
【详解】解：设t=x2+y2（t≥0），则原方程化为t2+2t=0，
因式分解得t(t+2)=0，
解得t=0或t=−2，
又t≥0，故t=0，即x2+y2=0．
故答案为：0．
9．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且a2+b2a2+b2−1=12，则这个直角三角形的斜边长为___________．
【答案】2
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，此题实际上求a2+b2的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程tt−1=12，通过解方程求得t的值即可．
【详解】解：设t=a2+b2，则由原方程，得
tt−1=12，
整理，得
t−4t+3=0，
解得t=4或t=−3（舍去）．
则a2+b2=4，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为a2+b2=4=2．
故答案为：2．
知识点03
灵活选用合适的方法解一元二次方程
1.解一元二次方程的基本思路
先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程。
2.解一元二次方程方法的特点
（1）配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；
（2）因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0；
（3）配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。
【即学即练】
10．分别用公式法和因式分解法解方程x2−6x+9=(5−2x)2．
【答案】x1=2，x2=83
【分析】利用公式法和因式分解法分别求解一元二次方程即可．
【详解】解：公式法：原方程可化为3x2−14x+16=0，
∵a＝3，b＝－14，c＝16，
∴b2−4ac＝(−14)2−4×3×16＝4＞0，
∴x＝−(−14)±42×3＝7±13，
∴原方程的根为x1=2，x2=83；
因式分解法：原方程可化为[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]＝0，
∴（2－x）（3x－8）＝0，
∴2－x＝0或3x－8＝0，
∴原方程的根为x1=2，x2=83．
11．用适当的方法解下列方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)x−12=3x−1；
(3)3x2−6x=1（用公式法）；
(4)9x−12=4．
【答案】(1)x1=−3,x2=1
(2)x1=4,x2=1
(3)x1=3+233,x2=3−233
(4)x1=53,x2=13
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用因式分解法进行求解即可；
（2）利用因式分解法进行求解即可；
（3）将方程化为一般式，利用公式法进行求解即可；
（4）利用直接开方法解方程即可．
【详解】（1）解：x2+2x−3=0，
x+3x−1=0，
x+3=0或x−1=0，
解得x1=−3,x2=1；
（2）x−12=3x−1，
x−12−3x−1=0，
x−1x−1−3=0，
x−1x−4=0，
x−4=0或x−1=0，
解得x1=4,x2=1；
（3）3x2−6x=1，
3x2−6x−1=0，
a=3,b=−6,c=−1，
Δ=−62−4×3×−1=48>0，
x=6±482×3=6±436=3±233，
解得x1=3+233,x2=3−233；
（4）9x−12=4，
x−12=49，
x−1=±23，
解得x1=53,x2=13．
题型01 用因式分解法解一元二次方程
【典例1】用因式分解方法解方程：x(x−2)+(x−2)=0．
【答案】x1=−1，x2=2
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x(x−2)+(x−2)=0
解：x+1x−2=0，
∴x+1=0或x−2=0，
∴x1=−1，x2=2．
（1）考查方向：选择合适的因式分解方法将一元二次方程降次求解。常见包括：提公因式法解方程、平方差公式解方程、完全平方公式解方程、十字相乘法解方程等。
（2）核心方法：移项化零—分解因式—转化为两个一元一次方程—分别求解。

【变式1】用因式分解法解方程9x2=x−22时，因式分解结果正确的是（ ）
A．42x−1x−1=0B．42x+1x−1=0
C．42x−1x+1=0D．42x+1x+1=0
【答案】C
【分析】先移项，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：9x2=x−22，
∴3x2−x−22=0，
∴3x+x−23x−x−2=0，
∴4x−22x+2=0，
∴42x−1x+1=0，
故选C
【变式2】用因式分解法解下列方程：
(1)x2−3x=0；
(2)2y2+y=−y+2；
(3)(2x−1)2−x2=0；
(4)x2−2x−3=0．
【答案】(1)x1=0，x2=3
(2)y1=−2，y2=−12
(3)x1=13，x2=1
(4)x1=3，x2=−1
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
（3）利用因式分解法解答即可；
（4）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2−3x=0，
∴xx−3=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3；
（2）解：∵2y2+y=−y+2，
∴2yy+2+y+2=0，
∴2+y2y+1=0，
∴2+y=0或2y+1=0，
∴y1=−2，y2=−12；
（3）解：∵(2x−1)2−x2=0，
∴2x−1+x2x−1−x=0，
即3x−1x−1=0，
∴3x−1=0或x−1=0，
∴x1=13，x2=1；
（4）解：∵x2−2x−3=0，
∴x−3x+1=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
【变式3】用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
（1）解题步骤正确的顺序是 ；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12
【答案】（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3
【分析】（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，解之即可得出答案；
（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x＋1）（x﹣6）＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案为：②④①③；
（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则（x＋5）（x﹣3）＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
【中考链接】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3的方法.
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项 −3=−1×3=1×(−3)验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×(−1)=1；1×(−1)+2×3=5；1×(−3)+2×1=−1；1×1+2×(−3)=−5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(−3)+2×1=−1，等于一次项系数-1，即(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3，则2x2−x−3=(x+1)(2x−3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3x2+5x−12=_________．
【答案】（x+3）（3x﹣4）．
【分析】根据题意利用十字相乘解题即可．
【详解】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
题型02 用换元法整体代换解方程
【典例1】用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（ ）
A．y2+y−6=0B．y2−y−6=0
C．y2−y+6=0D．y2+y+6=0
【答案】A
【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解．
【详解】把x2+x整体代换为y，
y2+y=6，
即y2+y−6=0.
故选:A.
（1）考查方向：能否发现方程中反复出现的整体结构，并通过设元将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程。
（2）核心方法：换元法的本质是“整体代换、降次转化”；解出新未知数后，再代回原设元式继续求解；注意换元后要根据原整体的取值范围进行检验。

【变式1】解方程(x2−5)2−x2+3=0，令x2−5=y，则原方程变为_______．
【答案】y2−y−2=0
【分析】根据题意，将x2−5=y代入原方程即可求解．
【详解】解：由原方程，得
(x2−5)2−x2−5−2=0，
将x2−5=y代入得，y2−y−2=0，
故答案为：y2−y−2=0．
【变式2】若关于x的方程x2+ℎx−k=0（其中ℎ、k均为常数）的解是x1=2，x2=−3，则关于y的方程−y+22+ℎ−y+2−k=0的解是__________．
【答案】y1=0，y2=5
【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键；
把−y+2看成一个整体，根据方程x2+ℎx−k=0的解，解方程即可．
【详解】令x=−y+2，则方程−y+22+ℎ−y+2−k=0可化为x2+ℎx−k=0，
∵关于x的方程x2+ℎx−k=0的解是x1=2，x2=−3，
∴−y+2=2或−y+2=−3，
解得y1=0，y2=5．
故答案为：y1=0，y2=5．
【变式3】我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程x4−2x2−3=0时，通过设y=x2将方程化为y2−2y−3=0，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程：
(1)2x4−3x2−2=0；
(2)(x2−x)2−5(x2−x)+4=0．
【答案】(1)x1=2，x2=−2
(2)x1=1+172，x2=1−172，x3=1+52，x4=1−52
【分析】（1）根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=−12，由此即可求解；
（2）设y=x2−x，则y=4或y=1，由此即可求解．
【详解】（1）解：（1）设y=x2，则原方程化为2y2−3y−2=0，
∴y=2或y=−12，
当y=2时，x2=2，
∴x1=2，x2=−2，
当y=−12时，x2=−12，此时方程无解，
∴原方程的解是x1=2，x2=−2．
（2）解：设y=x2−x，则原方程化为y2−5y+4=0，
∴y=4或y=1，
当y=4时，x2−x=4，
∴x1=1+172，x2=1−172，
当y=1时，x2−x=1，
∴x3=1+52，x4=1−52．
∴原方程的解是x1=1+172，x2=1−172，x3=1+52，x4=1−52．
【中考链接1】在分式方程2x−1x2+x22x−1=5中，设2x−1x2=y，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．y2+5y+5=0B．y2−5y+5=0
C．y2+5y+1=0D．y2−5y+1=0
【答案】D
【分析】设2x−1x2=y，则原方程可变形为y+1y=5，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设2x−1x2=y，则原方程可变形为y+1y=5，
即y2−5y+1=0；
故选：D.
【中考链接2】若x2+y22−5x2+y2−6=0，则x2+y2=_______．
【答案】6
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意x2+y2=t中的t的取值范围：t≥0．
设x2+y2=t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2−5t−6=0，即t−6t+1=0；然后解关于t的方程即可．
【详解】解：设x2+y2=tt≥0，则t2−5t−6=0，
∴t−6t+1=0，
解得t=6或t=−1（不合题意，舍去）；
故x2+y2=6．
故答案为：6．
题型03 选择适当方法解一元二次方程
【典例1】选择合适的方法解下列方程：
(1)x+32−16=0；
(2)x−52=2x−10．
【答案】(1)x1=1,x2=−7；
(2)x1=5,x2=7
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x+32−16=0，
x+32=16，
x+3=4或x+3=−4，
x1=1,x2=−7．
（2）x−52=2x−10
x−52−2x−5=0，
x−5x−5−2=0，
x−5=0或x−5−2=0，
x1=5,x2=7．
（1）考查方向：根据一元二次方程的结构特点，灵活选择直接开方法、配方法、公式法或因式分解法进行求解。
（2）核心方法：能直接开方则直接开方，能因式分解则因式分解，不易分解时用公式法或配方法。

【变式1】用两种方法求解方程：y2−6y+9=16
方法一：
方法二：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．用直接开平方法和因式分解法，解一元二次方程即可．
【详解】解：方法一：y2−6y+9=16，
原方程可变为：y−32=16，
开平方得：y−3=±4
解得：y1=−1，y2=7；
方法二：y2−6y+9=16，
化为一般形式为：y2−6y−7=0，
因式分解得：y+1y−7=0，
∴y+1=0或y−7=0，
解得：y1=−1，y2=7．
【变式2】解下列方程：
(1)x−32−9=0；
(2)x2+4x−1=0；
(3)x2−3x−2=0；
(4)x−1x+3=5x−1．
【答案】(1)x1=0，x2=6
(2)x1=−2−5，x2=−2+5；
(3)x1=3−172，x2=3+172
(4)x1=1，x2=2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关键．
（1）移项直接开方即可；
（2）根据求根公式求解即可；
（3）根据求根公式求解即可；
（4）移项、提取公因式，再用因式分解求解．
【详解】（1）解：x−32−9=0，
∴x−32=9，
∴x−3=±3，
解得x1=0，x2=6；
（2）解：x2+4x−1=0，
∴a=1，b=4，c=−1，
∴Δ=42−4×1×−1=20>0，
∴x=−4±202=−2±5，
解得x1=−2−5，x2=−2+5；
（3）解：x2−3x−2=0，
∴a=1，b=−3，c=−2，
∴Δ=−32−4×1×−2=17>0，
∴x=3±172，
解得x1=3−172，x2=3+172；
（4）解：x−1x+3=5x−1，
∴x−1x+3−5x−1=0
∴x−1x+3−5=x−1x−2=0，
∴x−1=0或x−2=0，
解得x1=1，x2=2．
【中考链接】选择适当的方法解下列方程：x2−2x−143=0；
【答案】x1=13，x2=−11
【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，熟悉配方法是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2−2x−143=0，
x2−2x=143，
x2−2x+1=143+1，
x−12=144，
∴x−1=±12，
∴x1=13，x2=−11．
题型04 解含绝对值的方程
【典例1】阅读下面的材料：
例：解方程x2−x−2=0．
解：分两种情况讨论：
①当x≥0时，原方程为x2−x−2=0．
解得x1=2，x2=−1（不合题意，舍去）；
②当x2，满足三角形三边关系，可以构成三角形
∴ 等腰三角形的周长为6+6+2=14.
综上，这个等腰三角形的周长为14
9．已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1=−1，x2=2，那么方程a2x+32+b2x+3+c=0的解是（ ）
A．x1=−2，x2=−12B．x1=−2，x2=12
C．x1=0，x2=−32D．∵Δ0，存在实数解．
当y=−6时，方程x2+4x=−6的判别式Δ=16−24=−8