初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第3课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第3课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了核心公式，模型对比辨析，通用解题步骤，核心易错点等内容，欢迎下载使用。

1.教学内容
本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》第三节《实际问题与一元二次方程》第3课时单循环比赛问题.本节课承接前两课时数字面积、病毒传播与变化率模型，聚焦两两组合无重复的计数类实际问题.核心内容包括：理解单循环赛制的比赛规则、推导单循环比赛总场数通用公式、利用一元二次方程解决球赛、握手、互赠卡片等同模型实际问题。课堂持续落实“审、设、列、解、验、答”六步解题规范，重点结合队伍人数、比赛场数为正整数的实际意义取舍方程根，完善一元二次方程组合计数类建模体系.
2.内容解析
本节课是一元二次方程实际应用的收官基础课时，是中考应用题经典必考题型.前两课时分别覆盖静态等量关系、动态变化关系，本节课聚焦组合计数关系，填补了方程建模中“两两组合计数”的知识空白，形成完整的一元二次方程应用模型体系.同时，本节课的组合公式推导思维，为高中排列组合知识做好铺垫，兼具承上启下的重要作用.本节课题型模型唯一、规律极强，核心逻辑为任意两个对象只发生一次组合、无重复、无遗漏.区别于传播问题的裂变增长、变化率的比例增减，单循环问题本质是组合计数问题，数量关系固定，可实现公式化建模，题型变式统一（球赛、握手、互通电话），易于学生归纳掌握、举一反三.通过体育赛事、社交互动等生活化情境建模，培养学生数学建模、逻辑推理、数据分析核心素养；在公式自主推导、变式辨析中，培养学生归纳总结、严谨求实的学习品质，体会数学模型在生活计数问题中的普适性.
基于以上分析，本节课的教学重点为：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式；利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.
教学目标
（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规范解题步骤.
（2）经历“情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.
（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.
2.目标解析
目标1精准落实教材单循环核心模型，区分单循环与双循环问题差异，掌握组合计数类一元二次方程应用的专属等量关系，完善前三课时所有方程应用模型体系，夯实中考基础考点.
目标2突破学生“死记公式、不懂原理、混淆循环类型”的短板，实现从机械套用到理解推导、灵活变式的能力提升，熟练掌握计数类应用题的验根技巧与解题规范.
目标3渗透模型思想、归纳推理思想、数形结合思想，通过枚举特例推导通用规律，培养学生从特殊到一般的数学思维，契合新课标核心素养培养要求.
学生已熟练掌握一元二次方程解法，经历前两课时建模训练，熟练掌握应用题六步解题法，具备一定的数学建模和规律探究能力，对生活化应用题接受度较高.学生容易凭直觉计数，无法理解单循环公式的推导原理，多依赖死记硬背；极易混淆单循环（不重复）与双循环（重复）模型，是本节课最大易错点；同时习惯性忽略计数类问题“结果必须为正整数”的验根要求.球赛、握手情境贴近学生生活，趣味性强，学生探究积极性高；从具体枚举到抽象公式的梯度学习，符合九年级学生由具象到抽象的认知规律，易于突破难点.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为： 理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-1”和“”的实际意义； 区分单循环与双循环问题，规避两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取舍方程的实数根.
创设情景，引入新课
情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？
师生活动：
1. 教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；
2. 抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；
3. 学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。
(设计意图：以学生熟悉的校园球赛情境导入，直观解读单循环核心规则，通过少量队伍枚举，让学生初步感知数量规律，制造多队伍计数的认知冲突，激发探究欲望，为公式推导铺垫具象基础.）
探究点1 自主探究，探究模型
活动1：参加比赛有几支队伍？
设有x支队伍参赛，遵循单循环赛制.
追问1. 每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（x-1支）
追问2. 所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x(x-1)场）
追问3. 单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）
师生归纳总结：
总场数=总配对次数÷2，得出单循环通用公式：总场数=x(x-1)
规范解题：结合导入情境列方程
解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
x(x-1)=21
整理得：x-x-42=0
解得：，
根据班级数量为正整数，舍去x=-6
答：一共有7个班级参赛.
（设计意图：分层设问引导学生自主拆解公式构成让学生理解“x-1是每队对手数、除以2是去除重复场次”的核心原理，从根源理解公式、杜绝死记硬背，突破本节课教学难点，落实核心重点.)
探究点2 模型归类，同类迁移
活动2：归纳同模型题型
学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重复的问题均适用单循环公式，如：
1. 体育单循环球赛、棋类比赛；
2. 多人两两握手、两两拥抱；
3. 多人之间互通一次电话；等等.
教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复”为单循环；“主客场、互赠、双向互动”为双循环.
及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？
学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.
（设计意图：完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维，实现举一反三，为后续拓展变式训练奠定基础.)
典型例题
例1·九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可．
【详解】解：设有 人参加聚会，根据题意列方程得，，
解得 (不合题意，舍去)；
答：有 人参加聚会．
例2．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．
(1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？
(2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答；
（2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；
解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，
根据题意可得，
解得（舍去），
故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；
（2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场，
设至少需要天完成比赛，
可得，
解得，
故至少需要9天完成比赛．
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
课本课堂练习P23.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．

(1)请你在图1中，画出2秒时的线段；
(2)在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，
点P运动的路程为：（2个单位），点Q运动的路程为：（个单位），
∵的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，
∴2秒时线段如图1所示：

（2）解：在动点P，Q运动的过程中，能成为等腰三角形．
t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为个单位，
如图2所示：过点Q作于H，

则个单位，个单位，个单位，个单位，
依题意得：四边形为矩形，
∴，个单位，个单位，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴个单位，个单位，
∴个单位，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又由，
分三种情况讨论如下：
①当时，，整理得：，解得：，
②当时，，整理得：，解得：，
③当时，，整理得：，
∵判别式，
∴方程没有实数根，
∴不存在．
综上所述：当秒或秒时，是等腰三角形．
(设计意图:强化本节课核心知识的拓展．)
1．（2025.青岛校考）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】根据题意知，每件商品的利润为元，销售量为件，
则可列方程为，
故选：A．
2．（2025·荆州统考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛，
可列方程：，
故选：D
3．我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，则参加比赛的球队共有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，
，
解得：（舍去），
∴参加比赛的球队共有8个，
故选：C．
4．（2025·深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1. 知识技能：（1）核心模型：掌握单循环赛制规则，熟记单循环通用计数公式；（2）模型迁移：能快速识别球赛、握手、互通电话等所有两两单次互动的同类问题，精准建立一元二次方程；（3）解题规范：熟练运用六步解题法，明确计数类问题解必须为正整数，能准确舍去负数、小数等不合理根.
2. 思想方法:（1）特殊到一般的归纳思想：通过少量队伍枚举特例，推导得出通用计数公式，实现从具象计算到抽象建模的升级；（2）数学建模思想：将体育赛事、生活社交的计数问题，抽象为固定的一元二次方程模型，用代数方法解决生活问题；（3）对比辨析思想：通过单、双循环模型对比，精准区分同类变式题型，提升审题辨析能力；（4）严谨验证思想：结合实际场景的取值限制筛选方程有效解，培养严谨的数学思维.
3. 易错提醒：（1）公式误用：单循环忘记除以2，或与双循环公式混用，是本节课最高频错误；（2）原理模糊：不理解公式推导逻辑，遇变式题型无法灵活调整，只会机械套公式；（3）验根遗漏：忽略队伍数、人数必须是正整数，保留负数、小数等不符合实际的根；（4）审题失误：未看清“单循环、双循环、两两一次、双向互动”等关键题干条件，建模错误；（5）步骤残缺：解题格式不规范，缺少检验、作答、单位等必要步骤.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.3第3、9题.
探究性作业：近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）．
(1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示）
(2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由．
【详解】（1）根据题意有：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元，
故答案为：，；
（2）根据题意，得．
解得，．
经检验，或均符合本题要求．
答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元
（3）不能
理由：根据题意，得．
化简，得．
∵，
∴方程没有实数根，
∴商家平均每天盈利不能达到1350元．
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）
一、单循环赛制规则
二、核心公式
三、模型对比辨析
1. 单循环（单次
2. 双循环（双向）
四、通用解题步骤
五、核心易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演