初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第2课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程第2课时教学设计，共22页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
◇教学目标◇
1.会用列一元二次方程的方法解决有关传播、平均增长(降低)率问题和利润问题.
2.进一步体会利用一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法.
3.进一步提高分析问题、解决问题的能力.
4.在问题解决过程中,强化学生数学应用意识,培养学生学以致用的能力,激发学生的求知欲.
◇教学重难点◇
教学重点
解决与传播、平均变化率、利润有关的问题.
教学难点
把实际问题抽象成数学问题,并根据实际问题的意义构建等量关系,列出方程.
◇教学过程◇
一、情境导入
小明学习非常认真,学习成绩直线上升.第一次测评数学成绩是a分,第二次测评数学成绩增长了10%,第三次又增长了10%,问他第三次数学成绩是多少?
二、合作探究
探究点1 与传播有关的问题
典例1 一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人患流感?
[解析] 设平均一个人传染了x个人.
根据题意,得x+1+(x+1)x=121,
解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).
经过三轮传染后患流感的人数为121+10×121=1331.
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人,经过三轮传染后共有1331个人患流感.
探究点2 与平均变化率有关的问题
典例2 今年,我市某中学响应“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2024年的单价为200元,2026年的单价为162元.
(1)求2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
试问去哪个商场购买足球更优惠?
[解析] (1)设2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.
根据题意,得200×(1-x)2=162,
解得x=0.1=10%或x=1.9(舍去).
答:2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)100×1011=100011≈91(个),
在A商场需要的费用为162×91=14742(元),在B商场需要的费用为162×100×910=14580(元),且14742>14580.
答:去B商场购买足球更优惠.
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原数、后来数、增长率(或降低率),以及增长(或降低)的次数之间的数量关系.如增长率:若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)+a(1+x)·x=a(1+x)2.即原数×(1+增长的百分率)2=后来数.同理得降低率问题的关系式:原数×(1-降低的百分率)2=后来数.另外,还要注意,增长率可以大于1,但降低率不能大于1.
变式训练 某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
A.50(1+x)2=182
B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+2x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182
[答案] B
探究点3 与利润有关的问题
典例3 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
[解析] (1)设每千克核桃应降价x元.
根据题意,得(60-x-40)(100+x2×20)=2240.
化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价6元或4元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价6元或4元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.
此时,售价为60-6=54(元),5460×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
三、板书设计
传播、平均变化率及利润问题
1.平均变化率=(实际数-基数)/基数.
2.平均增长(或降低)率公式:Q=a(1±x)2,其中a是增长(或降低)的基础量,x是平均增长(或降低)率,2是增长(或降低)的次数.
3.利用平均变化率的关系式解决有关平均变化率的应用题,适用直接开平方法来解.
◇教学反思◇
本节主要内容是传播、平均变化率和利润问题.在教学中注重了问题的形成过程,而不是向学生直接给出平均变化率公式,有利于学生对知识的掌握和理解.在今后的教学中要注意学生需根据情况对实际问题进行验根.