人教版（2024）七年级上册（2024）整式学案

这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）整式学案，共10页。
专题09 整式
题型01 单项式的定义、系数、次数
学以致用
【例1】 （2026•朝阳区校级二模）一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（ ）
A．m32B．2m2C．2m3D．m23
【答案】C
【分析】根据定义分析各选项，判断系数是否为2、次数是否为3即可．
【解答】解：A、选项单项式系数为12，次数为3，不符合系数为2的要求，不符合题意；
B、选项单项式系数为2，次数为2，不符合次数为3的要求，不符合题意；
C、选项单项式系数为2，次数为3，符合题意；
D、选项单项式系数为13，次数为2，均不符合要求，不符合题意．
故选：C．
【例2】 （2025秋•三水区期末）单项式4a2b的系数和次数分别是（ ）
A．4，2B．4，3C．2，4D．3，4
【答案】B．
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式4a2b的系数与次数分别是4，3．
故选：B．
【例3】 （2025秋•浠水县期末）单项式−2x2y3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，3B．﹣2，2C．−23，3D．−23，2
【答案】C
【分析】根据单项式系数和次数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，次数是所有字母的指数之和．
【解答】解：根据单项式系数和次数的定义，单项式的系数为−23，次数是3；
故选：C．
题型02 多项式的项、项数、次数
学以致用
【例4】 （2025秋•仁化县期末）多项式2m2n﹣mn的项数及次数分别是（ ）
A．2，3B．4，3C．3，4D．3，2
【答案】A
【分析】多项式的项数是指组成多项式的单项式的个数；多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数．
【解答】解：根据多项式的项数与次数的定义可知：
多项式2m2n﹣mn项数为2；
其中最高次项为2m2n，它的次数为2+1＝3，故多项式的次数为3；
故选：A．
【例5】 （2026•浦东新区二模）在多项式12x2−3y−4中，一次项是（ ）
A．3B．﹣3C．3yD．﹣3y
【答案】D
【分析】在多项式12x2−3y−4中，有三项：第一项12x2：x的次数是2，所以这一项是二次项；第二项﹣3y：y的次数是1，所以这一项是一次项；第三项﹣4：是常数项，次数为0，根据上述分析，一次项是﹣3y．
【解答】解：在多项式12x2−3y−4中，一次项是﹣3y．
故选：D．
【例6】 （2026•南沙区一模）多项式x+xy+1的次数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据多项式的次数定义解答即可．
【解答】解：多项式x+xy+1的次数是1+1＝2，
故选：B．
题型03 整式的识别
学以致用
【例7】 （2025秋•威信县月考）下列各式中，整式的个数为（ ）
①xyπ；②2a+3b；③53；④1x；⑤x+2y5；⑥2x＝1．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C．
【分析】根据整式的定义求解．
【解答】解：式子xyπ，2a+3b，53，x+2y5，符合整式的定义，是整式；
式子1x分母中含有字母，不是整式；
式子2x＝1是等式，不是整式．
故整式有4个．
故选：C．
【例8】 （2025秋•巨野县期末）式子：x3−y2+1，1x，a﹣3，﹣5xy，ab2c，0中，是整式的有（ ）个．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】单项式和多项式统称为整式，由此判断即可．
【解答】解：整式有：：x3﹣y2+1，a﹣3，﹣5xy，0，共4个，
故选：C．
【例9】 （2025秋•恩施市期末）在代数式1x，a2b，0，﹣3m+n，x−y2，3a中，整式的个数是（ ）
A．2 个B．3个C．4 个D．5个
【答案】C．
【分析】根据整式的定义求解．
【解答】解：式子a2b，0，﹣3m+n，x−y2，符合整式的定义，是整式；
式子1x，3a分母中含有字母，不是整式．
故整式有4个．
故选：C．
题型04 规律探究问题
学以致用
【例10】 （2024秋•鼓楼区校级期中）观察下面的一列单项式：−x2，x2，﹣2x3，4x4，﹣8x5，…，根据其中的规律，得出第7个单项式是（ ）
A．﹣32x7B．32x7C．﹣64x7D．64x7
【答案】A
【分析】由题目中的单项式得出规律，即可得到第7个单项式．
【解答】解：这一列单项式中的每个单项式乘以﹣2x，得到它后面的单项式，于是得到第6个单项式为：16x6，
∴第7个单项式为：﹣32x7，
故选：A．
【例11】 （2025秋•临翔区期中）观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4按此规律，第n个单项式表示为 （﹣1）n（2n﹣1）xn ．
【答案】（﹣1）n（2n﹣1）xn
【分析】根据题意可得，单项式的系数为：（﹣1）n（2n﹣1），次数为n，据此写出第n个单项式．
【解答】解：第n个单项式为：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
故答案为：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
【例12】 （2024秋•望城区期末）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是 ﹣19a8 ．
【答案】﹣19a8．
【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．
【解答】解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，
∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”，
系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1，
指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1，
∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8，
故第9个单项式是：﹣19a8．
故答案为：﹣19a8．
题型05 多项式不含某一项
学以致用
【例13】 （2025秋•鼓楼区校级期末）若关于x的多项式（a﹣3）x3+4x2+（4﹣b）x+3中不含三次项和一次项，则ab＝（ ）
A．7B．12C．64D．81
【答案】D
【分析】根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算ab．
【解答】解：根据题意可知，a﹣3＝0，
解得：a＝3．
∵多项式不含一次项，
∴4﹣b＝0，
∴b＝4．
∴ab＝34＝81．
故选：D．
【例14】 （2025秋•雷州市校级期中）已知多项式（m+1）x2+2nx﹣1中不含有x2项，则m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】令x2项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（m+1）x2+2nx﹣1不含x2项，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【例15】 （2025秋•烟台期末）若关于x的多项式﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，求m2﹣n的值．
【答案】7．
【分析】根据题意易得：﹣（m+2）＝0，n+3＝0，从而可得m＝﹣2，n＝﹣3，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，
∴﹣（m+2）＝0，n+3＝0，
解得：m＝﹣2，n＝﹣3，
∴m2﹣n＝（﹣2）2﹣（﹣3）＝4+3＝7．
题型06 多项式按升幂、降幂排列
学以致用
【例16】 （2026春•顺义区校级期中）以下各组多项式按字母a降幂排列的是（ ）
A．3a﹣7a2+2﹣a3B．﹣7a2+3a+2﹣a3
C．﹣a3+3a+2﹣7a2D．﹣a3﹣7a2+3a+2
【答案】D
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列．
【解答】解：多项式按字母a降幂排列的是﹣a3﹣7a2+3a+2．
故选：D．
【例17】 （2025秋•德化县期末）把多项式﹣3xy2+5x2y﹣y4﹣2按照y的升幂排列为（ ）
A．5x2y﹣3xy2﹣y4﹣2B．﹣2+5x2y+3xy2﹣y4
C．﹣2+5x2y﹣3xy2﹣y4D．﹣y4﹣3xy2+5x2y﹣2
【答案】C
【分析】先分清多项式的各项，并找出多项式中各项中y的指数；再按y的次数从小到大进行排列即可．
【解答】解：由题意得：多项式﹣3xy2+5x2y﹣y4﹣2按照y升幂排列为﹣2+5x2y﹣3xy2﹣y4．
故选：C．
【例18】 （2025秋•北碚区期末）把多项式2x2y﹣3xy2﹣x3+2y3按x的降幂排列正确的是（ ）
A．﹣x3﹣2x2y﹣3xy2+2y3B．2y3﹣3xy2+2x2y﹣x3
C．﹣x3+2x2y﹣3xy2+2y3D．﹣x3+2y3+2x2y﹣3xy2
【答案】C．
【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答．
【解答】解：多项式2x2y﹣3xy2﹣x3+2y3按x的降幂排列：﹣x3+2x2y﹣3xy2+2y3．
故选：C．
1．理解整式的概念，能说出单项式、多项式、整式之间的联系．
2．能正确识别单项式、多项式，能准确指出单项式的系数、次数，多项式的次数、项．
3．能分析具体问题中的数量关系，并能用整式表示，逐步建立数学符号意识，提升抽象能力．
1．单项式
（1）单项式的概念：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．
如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式．
（4）对于一个非零的数，规定它的次数为0．
2．多项式
（1）多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式．
（2）多项式中每个单项式叫作这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫作常数项．多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
3．整式
单项式和多项式统称为整式．
1．单项式的定义：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式．
例如：式子100t，0.8p，mn，a2h，–n，它们都是数或字母的积，它们都是单项式．
2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
例如：单项式100t，a2h，–n的系数分别是100，1，–1．
3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数．如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式．
例如：在单项式100t中，字母t的指数是1，所以单项式100t的次数是1；在单项式a2h中，字母a与h的指数的和是3，所以单项式a2h的次数是3．
4．单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
5．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母．
1．（1）多项式的定义
几个单项式的和叫作多项式．其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．例如：多项式v–2.5的项是v与–2.5，其中–2.5是常数项．
（2）多项式的项
多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．例如：多项式x2+2x+18一共有三项，常数项为18．
（3）多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数．例如：多项式x2+2x+18中次数最高项是二次项x2，则这个多项式的次数是2．
多项式x2+2x+18是二次三项式．
2．注意
（1）多项式的每一项都包括它前面的符号．
（2）多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数．
1．单项式和多项式统称为整式．
有些代数式不是整式，比如分式．
2．整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意：
（1）单项式和多项式都是整式．
（2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x