初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）整式学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）整式学案，共13页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，情境导入，合作探究，典型例题，错误诊所，达标检测，中考链接等内容，欢迎下载使用。
【知识技能】理解多项式的概念，能识别多项式，掌握多项式的项、常数项、次数等概念，
能准确确定多项式的项数和次数；理解整式的概念，能判断一个代数式是否为整式。
【数学思考】经历从单项式到多项式的抽象过程，体会类比和从特殊到一般的数学思想。
【问题解决】能根据多项式的次数和项数的概念解决相关问题，能将多项式按要求重新排列。
【核心素养】通过多项式概念的形成和应用，发展符号意识和数学抽象素养，培养观察、分析、归纳能力。
二、学习重难点
【重点】多项式的概念，多项式的项、次数、常数项；整式的概念。
【难点】准确确定多项式的次数，区分单项式和多项式的次数；正确识别整式。
三、情境导入
观察上面列出的代数式，它们与上节课学的单项式有什么区别和联系？
图1：多项式的组成结构
四、合作探究
探究点1：多项式的识别与项的分析
【活动1】判断下列代数式哪些是多项式，哪些不是，并说明理由。
(1) 2x + 3y (2) 5x² - 3x + 2 (3) 3x
(4) x2 + y3 (5) 1x + 2 (6) x² - 2xy + y²
(7) 0 (8) 3x³y - 2x + 1 (9) (x+y)2
(10) 2x - 3 (11) πr² - 2r (12) x + 1x
【活动2】指出下列多项式的项、常数项和项数：
(1) 2x - 3y (2) 3x² - 2x + 1 (3) -x³ + 2x² - x + 5
(4) 4a² - 2ab + b² (5) -x²y + 3xy - 2x (6) 5x^m - 3x + 2（m为正整数）
探究点2：多项式的次数
图2：多项式的项、次数与常数项
探究点3：整式的概念
图3：整式的分类关系
-5, x, 2x + 3, x²y, 0, 1x, 3x² - 2x + 1, a+b2, 2π, x
整式的有：________________________________
五、典型例题
题型一：多项式的识别与判断
【例1】判断下列说法是否正确：
(1) 多项式 x² + 2x - 1 的项是 x²、2x、1；（ ）
(2) 多项式 3x - 2 是一次二项式；（ ）
(3) 0 是单项式，也是多项式；（ ）
(4) 多项式 2x² - xy + y² 是二次三项式；（ ）
(5) 多项式 x³ + 2x² - 5 的次数是 6；（ ）
(6) 整式包括单项式和多项式。（ ）
(1) × 项包括前面的符号，应该是 x²、2x、-1；
(2) √ 一次项 3x，常数项 -2，共两项；
(3) √ 0 是单项式，单独的一个数也是单项式，单项式属于整式；
(4) √ 最高次项是 2 次，有 3 项；
(5) × 多项式的次数是最高项的次数，不是所有项次数的和，应该是 3 次；
(6) √ 单项式和多项式统称为整式。
题型二：确定多项式的次数和项
【例2】指出下列多项式是几次几项式，并指出次数最高的项和常数项：
(1) 3x - 2x² + 1 (2) 5a³ - 2a²b + ab² - b³
(3) -xy³ + 2x²y - 7 (4) x^n - 2x^(n-1) + 3（n为大于2的正整数）
(1) 二次三项式；次数最高的项是 -2x²；常数项是 1；
(2) 三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²（都是3次）；常数项是 -b³？不对，没有常数项（常数项为0，通常不写）；
正确：三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²、-b³（都是3次）；没有常数项；
(3) 四次三项式；次数最高的项是 -xy³（1+3=4次）；常数项是 -7；
(4) n次三项式；次数最高的项是 x^n；常数项是 3。
题型三：根据次数求参数值
【例3】已知多项式 (m-2) + 3x - 5 是关于 x 的三次三项式，求 m 的值。
因为多项式是三次三项式，所以次数最高的项的次数是 3。
由题意得：m = 3，且 m - 2 ≠ 0（保证三次项存在）
解得：m = 3，且 m ≠ 2，所以 m = 3。
检验：当 m = 3 时，多项式为 (3-2)x³ + 3x - 5 = x³ + 3x - 5，确实是三次三项式。
【例4】已知关于 x、y 的多项式 y² - (m-2)xy + 3 是四次三项式，求 m 的值。
因为多项式是四次三项式，所以次数最高的项的次数是 4。
第一项 y²y² 的次数是 |m| + 2，第二项 -(m-2)xy 的次数是 2。
由题意得：|m| + 2 = 4，且 m - 2 ≠ 0（保证第二项存在，即三项式）
解得：|m| = 2，即 m = ±2
又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2
所以 m = -2。
六、错误诊所
【易错点1】确定多项式的项时忽略符号
例1：多项式 3x² - 2x + 1 的各项是（ ）
A. 3x², 2x, 1 B. 3x², -2x, 1
C. 3x², 2x, -1 D. -3x², -2x, -1
【错解】A
【错因分析】多项式的每一项都包括它前面的符号。在 3x² - 2x + 1 中，第二项是 -2x，不是 2x。
【正解】B
【易错点2】对多项式次数的概念理解错误
例2：多项式 3x²y - 2x³y² + xy - 5 的次数是（ ）
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
【错解】D
【错因分析】多项式的次数是"次数最高项的次数"，而不是所有字母的指数之和。
各项次数分别为：3x²y（3次）、-2x³y²（5次）、xy（2次）、-5（0次）。
最高次项是 -2x³y²，次数是5。
【正解】C
【易错点3】误认为常数项没有次数
例3：多项式 2x³ - x² + 5 是____次____项式。
【错解】三，二（认为常数项5没有次数，所以不算一项）
【错因分析】多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，常数项也是一项。
常数项的次数是0次（因为可以看作字母的0次幂与常数的积），但它仍然是一项。
【正解】三，三（三次三项式）
七、达标检测
A组 基础巩固
1. 下列代数式中，是多项式的是（ ）
A. 2x B. 2x + 3 C. 2x D. x²
2. 多项式 x² - 2x + 1 的各项分别是（ ）
A. x²、2x、1 B. x²、-2x、1
C. x²、2x、-1 D. x²、-2x、-1
3. 多项式 3x³ - 2x²y + xy - 1 的次数是（ ）
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 整式就是多项式 B. 单项式与多项式统称为整式
C. 多项式中不含字母的项没有次数 D. 多项式的次数是所有项次数的和
5. 下列代数式中，是整式的有（ ）
① -5 ② x ③ 2x + 3 ④ 1x ⑤ x²y ⑥ x+y2 ⑦ 3π
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
6. 填表：
7. 判断下列说法是否正确（对的打"√"，错的打"×"）：
(1) 单项式和多项式都是整式。（ ）
(2) 多项式 x³ + x² 的次数是 5。（ ）
(3) 多项式 3x - 2 的常数项是 2。（ ）
(4) 多项式 2x² - 3x + 1 是二次三项式。（ ）
(5) 0 不是多项式。（ ）
B组 能力提升
8. 若多项式 (k+1)x² - 3x + 1 中不含 x² 项，则 k 的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 不确定
9. 已知多项式 - (m+2)x + 7 是关于 x 的二次三项式，则 m 的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 3
10. 关于 x、y 的多项式 3 y + 2xy² - 1 是四次三项式，则 m 的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
11. 若多项式 x² + (k-1)x + 3 中不含一次项，则 k = ______。
12. 已知关于 x 的多项式 (a-4)x³ - x^b + x - b 是二次三项式，求 a、b 的值。
C组 拓展创新
13. 【规律探究】观察下列多项式：
x + 1, x² + 2, x³ + 3, x⁴ + 4, …
(1) 第 6 个多项式是什么？第 n 个呢？
(2) 第 2024 个多项式是几次几项式？
14. 【开放题】写出满足下列条件的多项式：
(1) 只含字母 x 的二次三项式，二次项系数为 2，常数项为 -1；
(2) 含字母 x、y 的三次三项式，且三次项系数为 -1；
(3) 关于 x 的二次三项式，一次项系数是 -5，二次项系数和常数项互为相反数。
八、中考链接
九、数学文化
十、小结与反思
【知识梳理】
• 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
• 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包括它前面的符号。
• 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
• 次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
• 整式：单项式和多项式统称为整式。
• 命名：几次几项式，如二次三项式、四次二项式等。
【方法技巧】
• 识别多项式：看是否是几个单项式的和，分母不含字母。
• 确定多项式的项：逐项写出，注意每一项都包括前面的符号。
• 确定多项式的次数：先求每一项的次数，再找到最高的那个次数。
• 判断整式：单项式和多项式都是整式，分母含字母的不是整式。
• 根据次数求参数：利用次数定义列方程，注意检验系数不为0。
【易错警示】
1. 确定多项式的项时，不要漏掉前面的符号；
2. 多项式的次数是最高次项的次数，不是所有项次数的和；
3. 非零常数的次数是0，不是1；
4. π是常数，不是字母，判断次数时不要算上π；
5. 一个多项式是几次几项式，项数要数全，次数要算对；
6. 分母中含有字母的式子不是整式，也不是多项式。
【学习反思】
□ 我理解了多项式的概念，能正确识别多项式
□ 我能准确说出多项式的各项和常数项
□ 我能准确计算多项式的次数
□ 我能正确判断一个代数式是否为整式
□ 我能根据多项式的次数求参数的值
我的困惑：________________________________________________
我的收获：________________________________________________
答案
一、学习目标
（略，见正文）
二、学习重难点
（略，见正文）
三、情境导入
问题答案. 1. 2(a+b)、ab 2. x+y 3. 100a+10b+c 4. 略 5. t-3 6. 2m+3n区别：单项式只有数与字母的积，多项式是几个单项式的和（含加减运算）；联系：多项式由单项式组成，单项式和多项式都是整式。
四、合作探究
探究点1 多项式识别. 是多项式的：(1)(2)(4)(6)(8)(9)(10)(11)不是多项式的：(3)是单项式，不是多项式（只有一项）； (5)(12)分母含字母，不是整式。注意：单项式可以看作只有一项的多项式（特殊情况）。
探究点2 填表（做一做）. 单项式：-5、x、x²y、0、2π；多项式：2x+3、3x²-2x+1、a+b2；整式：-5、x、2x+3、x²y、0、3x²-2x+1、a+b2、2π
五、典型例题
所以 m = -2。
又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2
解得：|m| = 2，即 m = ±2
由题意得：|m| + 2 = 4，且 m - 2 ≠ 0（保证第二项存在，即三项式）
第一项 y² 的次数是 |m| + 2，第二项 -(m-2)xy 的次数是 2。
因为多项式是四次三项式，所以次数最高的项的次数是 4。
【例4】已知关于 x、y 的多项式 y² - (m-2)xy + 3 是四次三项式，求 m 的值。
检验：当 m = 3 时，多项式为 (3-2)x³ + 3x - 5 = x³ + 3x - 5，确实是三次三项式。
解得：m = 3，且 m ≠ 2，所以 m = 3。
由题意得：m = 3，且 m - 2 ≠ 0（保证三次项存在）
因为多项式是三次三项式，所以次数最高的项的次数是 3。
【例3】已知多项式 (m-2) + 3x - 5 是关于 x 的三次三项式，求 m 的值。
题型三：根据次数求参数值
(4) n次三项式；次数最高的项是 x^n；常数项是 3。
(3) 四次三项式；次数最高的项是 -xy³（1+3=4次）；常数项是 -7；
正确：三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²、-b³（都是3次）；没有常数项；
(2) 三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²（都是3次）；常数项是 -b³？不对，没有常数项（常数项为0，通常不写）；
(1) 二次三项式；次数最高的项是 -2x²；常数项是 1；
(3) -xy³ + 2x²y - 7 (4) x^n - 2x^(n-1) + 3（n为大于2的正整数）
(1) 3x - 2x² + 1 (2) 5a³ - 2a²b + ab² - b³
【例2】指出下列多项式是几次几项式，并指出次数最高的项和常数项：
题型二：确定多项式的次数和项
(6) √ 单项式和多项式统称为整式。
(5) × 多项式的次数是最高项的次数，不是所有项次数的和，应该是 3 次；
(4) √ 最高次项是 2 次，有 3 项；
(3) √ 0 是单项式，单独的一个数也是单项式，单项式属于整式；
(2) √ 一次项 3x，常数项 -2，共两项；
(1) × 项包括前面的符号，应该是 x²、2x、-1；
(6) 整式包括单项式和多项式。（ ）
(5) 多项式 x³ + 2x² - 5 的次数是 6；（ ）
(4) 多项式 2x² - xy + y² 是二次三项式；（ ）
(3) 0 是单项式，也是多项式；（ ）
(2) 多项式 3x - 2 是一次二项式；（ ）
(1) 多项式 x² + 2x - 1 的项是 x²、2x、1；（ ）
【例1】判断下列说法是否正确：
题型一：多项式的识别与判断
六、错误诊所
【正解】三，三（三次三项式）
常数项的次数是0次（因为可以看作字母的0次幂与常数的积），但它仍然是一项。
【错因分析】多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，常数项也是一项。
【错解】三，二（认为常数项5没有次数，所以不算一项）
例3：多项式 2x³ - x² + 5 是____次____项式。
【易错点3】误认为常数项没有次数
【正解】C
最高次项是 -2x³y²，次数是5。
各项次数分别为：3x²y（3次）、-2x³y²（5次）、xy（2次）、-5（0次）。
【错因分析】多项式的次数是"次数最高项的次数"，而不是所有字母的指数之和。
【错解】D
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
例2：多项式 3x²y - 2x³y² + xy - 5 的次数是（ ）
【易错点2】对多项式次数的概念理解错误
【正解】B
【错因分析】多项式的每一项都包括它前面的符号。在 3x² - 2x + 1 中，第二项是 -2x，不是 2x。
【错解】A
C. 3x², 2x, -1 D. -3x², -2x, -1
A. 3x², 2x, 1 B. 3x², -2x, 1
例1：多项式 3x² - 2x + 1 的各项是（ ）
【易错点1】确定多项式的项时忽略符号
七、达标检测
A组 基础巩固
1. B
2. B
3. A （最高次项 3x³ 和 -2x²y 都是3次）
4. B
5. C （①②③⑤⑥⑦是整式，共6个？不对：-5、x、2x+3、x²y、x+y2、3π，共6个，选D）
5修正. D （6个：-5、x、2x+3、x²y、x+y2、3π）
6. 3x-1：项为3x、-1；最高次项3x；常数项-1；一次二项式x²-xy+y²：项为x²、-xy、y²；最高次项x²、-xy、y²；常数项无；二次三项式2x³y-3x²+5：项为2x³y、-3x²、5；最高次项2x³y（4次）；常数项5；四次三项式-a+2b-3c：项为-a、2b、-3c；最高次项都是1次；常数项无；一次三项式
7. (1) √ (2) ×（3次） (3) ×（常数项是-2） (4) √ (5) ×（0是单项式，也是多项式）
B组 能力提升
8. B （k+1=0，k=-1）
9. A （|m|=2且m+2≠0，所以m=2）
10. B （m+1=4，m=3）
11. 1 （k-1=0，k=1）
12. 由二次三项式可知：三次项不存在（系数为0），二次项存在。所以 a-4=0，即 a=4；且 b=2（最高次为二次，且 - 必须存在，即b=2）。检验：当a=4，b=2时，多项式为 -x² + x - 2，是二次三项式。
C组 拓展创新
13. (1) 第6个多项式是 x⁶ + 6；第n个是 + n(2) 第2024个多项式是 2024次二项式
14. (1) 2x² + 3x - 1（答案不唯一，一次项系数任意）(2) -x²y + xy + 1（答案不唯一，只要三次项系数为-1即可）(3) 2x² - 5x - 2（答案不唯一，二次项系数和常数项互为相反数即可）
八、中考链接
真题试卷1. B
真题试卷2. B
真题试卷3. A
九、数学文化
（略，阅读了解）
十、小结与反思
（略，自行总结）【生活情境】校园里的数学问题
我们继续用代数式来表示校园中的数量关系：
1. 长方形的长为 a，宽为 b，则周长是__________，面积是__________；
2. 七年级一班有男生 x 人，女生 y 人，全班共有__________人；
3. 一个三位数，百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c，
则这个三位数表示为__________；
4. 如图，一个十字形花坛的面积是__________；
5. 温度由 t℃ 下降 3℃ 后是__________℃；
6. 买一个篮球需要 m 元，买一个排球需要 n 元，买 2 个篮球和 3 个排球
共需要__________元。
【概念生成】多项式的定义
定义：几个单项式的和叫做多项式。
相关概念：
• 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
• 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
• 项数：一个多项式含有几项，就叫做几项式。
例如：多项式 3x² - 2x + 5 有三项，分别是 3x²、-2x、5，
其中 5 是常数项，这个多项式是三项式。
注意：多项式的每一项都包括它前面的符号。
【方法归纳】判断多项式的技巧
一看：代数式是否是几个单项式的和的形式；
二查：检查每一项是否都是单项式（分母不含字母，不含根号等）；
三注意：
① 多项式的项包括它前面的符号；
② 单独的一个数或一个字母是单项式，也是多项式（一项式）；
③ 分母中含有字母的式子一定不是多项式，也不是整式。
【概念】多项式的次数
定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：
多项式 3x² - 2x + 5 中，次数最高的项是 3x²（2次），
所以这个多项式的次数是 2，它是二次三项式。
多项式 5a³b - 2a² + 7 中，次数最高的项是 5a³b（4次），
所以这个多项式的次数是 4，它是四次三项式。
注意：多项式的次数是次数最高项的次数，不是所有项次数的和。
【特别提醒】次数注意事项
① 多项式的次数只与次数最高项有关，与其他项无关；
② 要先找出所有项，再分别确定每一项的次数，最后找到最高次数；
③ 常数项的次数是 0（非零常数），不影响多项式的次数；
④ 几次几项式的命名：先说次数再说项数，如二次三项式、四次二项式等。
【概念】整式
定义：单项式与多项式统称为整式。
分类：
整式 { 单项式：数与字母的积（单独的数或字母）
{ 多项式：几个单项式的和
判断标准：
整式的分母中不能含有字母，也不能含有根号下含字母的情况。
例如：3x、-5、a、x² + 2x - 1 等都是整式；
1x、2x+1、x 等都不是整式。
【做一做】分类练习
将下列代数式分别填入相应的框内：
单项式
多项式
【易错点1】确定多项式的项时忽略符号
病例：指出多项式 3x² - 2x + 1 的项。
错解：3x²、2x、1（漏掉了第二项的负号）。
诊断：多项式的项包括它前面的符号，-2x 是一个整体，不能分开。
正解：3x²、-2x、1。
警示：多项式的项是单项式，而单项式的系数包括符号，所以项也包括符号！
【易错点2】混淆多项式次数与所有项次数和
病例：求多项式 x³ + 2x² - x + 5 的次数。
错解：3+2+1 = 6次（把所有项的次数加起来了）。
诊断：多项式的次数是次数最高项的次数，不是所有项次数的和。
正解：次数最高的项是 x³，次数是 3，所以多项式的次数是 3。
警示：多项式的次数 = 最高次项的次数，不是各项次数相加！
【易错点3】常数项的次数误以为是1
病例：判断：多项式 2x + 3 的次数是 2（因为 x 的次数1 + 常数项次数1 = 2）。
错解：正确。
诊断：常数项 3 的次数是 0，不是 1。多项式的次数只看最高次项。
正解：错误。多项式 2x + 3 的次数是 1。
警示：非零常数的次数是 0，不是 1；常数项不影响多项式的次数！
【易错点4】认为 π 是字母
病例：判断多项式 2πr - 3 的次数。
错解：2次（把 π 当成了字母，π 是1次，r 是1次，共2次）。
诊断：π 是圆周率，是一个常数，不是字母。2πr 中只有 r 是字母。
正解：次数最高的项是 2πr，次数是 1，所以多项式的次数是 1。
警示：π 是常数，不是字母！判断次数时只看字母的指数。
多项式
项
次数最高的项
常数项
几次几项式
3x - 1
x² - xy + y²
2x³y - 3x² + 5
-a + 2b - 3c
【中考真题试卷1】（2023·湖北中考）
多项式 3x² - 2x + 1 的各项分别是（ ）
A. 3x²、2x、1 B. 3x²、-2x、1
C. 3x²、2x、-1 D. 3x²、-2x、-1
多项式的项包括它前面的符号。
答案：B
【中考真题试卷2】（2024·山东中考）
如果关于 x 的多项式 - (m-2)x + 3 是二次三项式，
则 m 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 3
由二次三项式可知：最高次项次数为2，且三项都要存在。
|m| = 2，且 m - 2 ≠ 0，所以 m = -2。
答案：B
【中考真题试卷3】（2023·四川中考）
下列说法正确的是（ ）
A. 整式包括单项式和多项式
B. 多项式的次数是所有项次数的和
C. -3 不是单项式
D. 单项式 πr² 的次数是 3
A. 正确，单项式和多项式统称为整式；
B. 错误，多项式的次数是最高次项的次数；
C. 错误，单独的一个数是单项式；
D. 错误，π是常数，次数是2。
答案：A
【数学史话】多项式的历史与代数学的发展
多项式是代数学中最基本的研究对象之一，它的发展与代数学的发展密不可分。
1. 古代的多项式思想
早在公元前2000年左右，古巴比伦人就已经能够解决一些二次多项式方程的问题。
中国古代的《九章算术》中也记载了许多与多项式相关的问题，如面积、体积的
计算等，虽然没有使用现代符号，但已经蕴含了多项式的思想。
2. 符号代数的诞生
16世纪，法国数学家韦达（Françis Viète, 1540—1603）首次系统地使用字母
表示数，创立了符号代数。他用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，
使得多项式的表示和运算更加简洁和规范。因此，韦达被称为"代数学之父"。
3. 多项式理论的完善
17世纪，笛卡尔（René Descartes, 1596—1650）改进了韦达的符号体系，
用字母表中前面的字母表示已知数，后面的字母表示未知数，形成了我们今天
使用的表示方法。他还提出了著名的笛卡尔符号法则，用于判断多项式正根
和负根的个数。
4. 多项式的应用
多项式在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在微积分中，泰勒多项式可以近似表示复杂的函数；在计算机图形学中，
贝塞尔曲线和B样条曲线都是基于多项式的。
现在我们学习的多项式虽然是最基础的，但它是整个代数学的基石。