人教版七年级上册2.1 整式导学案

这是一份人教版七年级上册2.1 整式导学案，共9页。学案主要包含了 整式，填空题等内容，欢迎下载使用。
整式：凡不含有 运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
2.整式分类为： 与 统称为整式．
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（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有 的式子一定不是整式．
类型一、整式的判断
1、把下列代数式的序号填入相应的横线上
①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦
（1）单项式 ； （2）多项式 ； （3）整式 ．
【答案】（1）③⑤⑦；（2）①②；（3）①②③⑤⑦．
【分析】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
解：（1）单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
（2）多项式 ①②；
故答案为：①②；
（3）整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
举一反三：
【变式1】把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，， ， ， 5，﹣xy，a2﹣2ab+1．
【答案】单项式：3a，5，﹣xy；多项式：，a2﹣2ab+1；非整式：，．
【分析】根据整式，单项式，多项式的概念进行分类即可．单项式是字母和数的乘积，多项式是若干个单项式的和，单项式和多项式统称为整式．
解：单项式：3a，5，﹣xy；
多项式：，a2﹣2ab+1；
非整式：，．
【点拨】主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【变式2】指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①；②-x；③；④10；⑤6xy+1；⑥；⑦m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩
单项式：____________________________；多项式：________________________；
整式：________________________；
【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨．
【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类．
解：单项式有：-x，10，m2n，a7；
多项式有：，，6xy+1，2x2-x-5；
整式有：，-x，，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7．
【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．
巩固练习
一、单选题
1．已知，则代数式2x-6y-2的值为（ ）
A．B．8C．13D．
【答案】B
【分析】观察所求代数式可知，可以将已知整体代入求代数式的值．
【详解】解：∵x﹣3y﹣5＝0，
∴x﹣3y＝5，
∴2x-6y-2
＝2（x﹣3y）-2
＝10-2
＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式的求值运算，根据式子的特点，采用整体代入的方法．
2．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价D．先提价，再降价
【答案】B
【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
3．如图，阴影部分面积的表达式为（ ）．
A．ab-πa2B．ab-πa2C．ab-πa2D．ab-πa2
【答案】D
【分析】结合题意，分别计算长方形和圆形的面积，通过计算，即可得到答案．
【详解】根据题意得：圆形的直径为：；长方形的面积为：
∴圆形的面积为：
∴阴影部分面积的表达式为：
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、乘方的性质，从而完成求解．
4．某服装店新开张，第一天销售服装件，第二天比第一天多销售5件，第三天的销售量是第二天的3倍少9件，则第三天销售了（ ）
A．件B．件
C．件D．件
【答案】A
【分析】根据题意可以用代数式表示出第三天的销量，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第三天的销量为：3（a+5）﹣9＝（3a+6）件，
故选：A．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．为促进棚户区改造，圆百姓安居梦，2019年1月份某省政府投入专项资金a亿元，2月份投入专项资金比1月份增长8%，3月份投入专项资金比2月份增长10%，若2019年3月份省政府共投入资金b亿元，则b与a之间满足的关系是( )
A．b=(1+8%+10%)aB．b=(1-8%)(1-10%)aC．a=(1+8%)(1+10%)bD．b=(1+8%)(1+10%)a
【答案】D
【分析】根据2份投入专项资金比元月份增长8%，可得2份投入专项资金（1+8%）a亿元，再根据3月份投入专项资金比2月份增长10%，可得3月份省政府共投入专项资金（1+8%）（1+10%）a亿元．
【详解】解：根据题意得2份投入专项资金（1+8%）a亿元，
由3月份投入专项资金比2月份增长10%，可得3月份省政府共投入专项资金（1+8%）（1+10%）a亿元．
∴b=（1+8%）（1+10%）a．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列代数式表示数量之间的关系，明确标准量，并能根据要求的问题和标准量之间的关系解答问题是解答本题的关键．
6．如图①是个小正方体木块水平摆放而成，图②是由个小正方体木块叠放而成，图③是由个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察所给的前三个图形，把正方体木块的总个数按层数拆分找出规律，解决问题．
【详解】观察前三个图形发现第①个图形是1个正方体木块水平摆放而成，图②是1+5个正方体木块叠放而成，图③是1+5+9个正方体木块叠放而成，由此得到第⑥个图形是1+5+9+13+17+21个正方体木块叠放而成的，而1+5+9+13+17+21=66．
故选：B．
【点睛】此题考查观察发现规律及运用规律的能力，其关键是要结合图形，对前几个图形中的正方体木块的总个数进行拆分．
二、填空题
7．在代数式①、②、③7、 ④、⑤中，单项式有_____________，多项式有_____________．（只填序号）
【答案】③④ ①②
【分析】根据单项式和多项式的定义分析，即可得到答案．
【详解】在代数式①、②、③7、 ④、⑤中，
单项式有：③④
多项式有：①②
不属于整式；
故答案为：③④，①②．
【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义，从而完成求解．
8．一组按规律排列的多项式：，，，，……，其中第2021个式子是_______．
【答案】
【分析】观察式子可得规律第n个式子是an+（﹣1）n+1b2n﹣1，则可求第2021个式子．
【详解】解：∵a+b，
a2﹣b3＝a2+（﹣1）2+1b2×2﹣1，
a3+b5＝a3+（﹣1）3+1b2×3﹣1，
a4﹣b7＝a4+（﹣1）4+1b2×4﹣1，
…
则第n个式子是an+（﹣1）n+1b2n﹣1，
∴第2021个式子是a2021+b4041．
故答案为：a2021+b4041．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
9．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是_．
【答案】（n为正整数）．
【分析】从已知单项式的系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的关系，从而得出答案．
【详解】解：∵第一个式子：，
第二个式子：，
第三个式子：，
第四个式子：，
第五个式子：
…．
则第n个式子为：（n为正整数）．
故答案是：（n为正整数）．
【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．
10．观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，策2021个单项式是____．
【答案】﹣6061x2021．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第2021个单项式，本题得以解决．
【详解】∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n•（3n﹣2）xn，
∴第2021个单项式是（﹣1）2021•（3×2021﹣2）x2021＝﹣6061x2021，
故答案为：﹣6061x2021．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确得出数字变化规律是解题关键．
11．观察下列一串单项式的特点：，，，，…
（1）请按此规律写出第10个单项式_________
（2）请按此规律写出第2021个单项式_________
（3）试猜想第n个单项式为_________．
【答案】-512x10y -22020x2021y （-1）n+12n-1xny
【分析】通过观察题意可得：n为偶数时，符号为负．x的指数为n时，2的指数为（n-1），由此可解出本题．
【详解】解：∵当n=1时，xy，
当n=2时，-2x2y，
当n=3时，4x3y，
当n=4时，-8x4y，
当n=5时，16x5y，
∴第10个单项式是210-1x10y，即-512x10y．
第2021个单项式是22021-1x2021y，即-22020x2021y．
∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n-1，
∴当n为奇数时的单项式为2n-1xny，
该单项式为（-1）n+12n-1xny．
故答案为：-512x10y，-22020x2021y，（-1）n+12n-1xny．
【点睛】本题考查的是单项式的规律，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．
12．有一组多项式：，……，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________．
【答案】11a11＋b10，
【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第10个多项式即可．
【详解】解：根据题意得，a的次数和系数相同，是序数加1，b的系数是1，次数与序数相同，
所以，第10个多项式是11a11＋b10．
【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．
13．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第个三角形数记为，计算，…，由此推算，________，______．
【答案】2020 2041210
【分析】根据计算可得规律：相邻两个数相减等于前面数的下标，从而可得，再根据a2020=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（a2020-a2019）可得结果．
【详解】解：a2-a1=3-1=2；
a3-a2=6-3=3；
a4-a3=10-6=4；
…；
∴an-an-1=n．
所以a2020-a2019=2020，
a2020=a1+（a2-a1
）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（a2020-a2019）=1+2+3+...+2020=2041210，
故答案为：2020，2041210．
【点睛】此题考查数字的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题．
14．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）
根据前面各式规律，则的展开式中第4项是_________________．
【答案】20a3b3
【分析】根据杨辉三角的规律，得到第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1，进而即可得到答案．
【详解】根据杨辉三角的规律，可知：第六行的数字为：1，5，10，10，5，1，
第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1
∴=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴的展开式中第4项是：20a3b3．
故答案是：20a3b3．
【点睛】本题主要考查数字规律，通过观察，找出杨辉三角的排列规律，是解题的关键．
代数式
整式
单项式
多项式
非整式