【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修二：第04讲 向量的数量积 讲义

第04讲  向量的数量积

知识点01  向量数量积的定义

1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).

当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.

2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.

3.非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，4.规定：零向量与任一向量的数量积等于0.

【即学即练1】给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ）

①    ②    ③    ④

A．1 B．2 C．3 D．4

答案   B

解析： 由数量积的定义知，

对于①，若，则或，不一定成立，①错误

对于②，成立，②正确

对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误

对于④，，④正确

故选：B

知识点02  向量数量积的几何意义

1.投影向量：

在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.

2.几何意义：向量a与b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积。

【即学即练2】已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ）

A．4 B．8 C． D．

答案   C

解析： 由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，

故选：C

知识点03  向量数量积的性质

1.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则

(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

2.平面向量数量积的运算律

（1）a·b＝b·a(交换律).

（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).

（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

【即学即练3】已知向量满足，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

答案   A

解析： 解：因为，

所以，

解得.

故选：A.

考法01  向量夹角的计算

【典例1】已知，，则（    ）

A． B． C． D．

答案   A

解析： 因为，，

所以，

所以，

故选：A

考法02  垂直关系的向量表示

【典例2】已知平行四边形ABCD满足，，，，，（    ）

A．6 B．10 C．14 D．

答案   C

解析： 由于，两边平方并化简得，所以，

所以

.

故选：C

题组A  基础过关练

1．已知，，，则与的夹角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

答案   C

解析： ，

因为，

所以，

与的夹角是120°.

故选：C

2．已知等边三角形，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

答案   A

解析： 因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为.

故选：A

3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

答案   C

解析： 由，可得四边形ABCD是平行四边形．

由，，

所以，所以四边形ABCD为菱形．

故选：C

4．已知向量满足，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

答案   B

解析： 解：因为，所以，

设与的夹角为，则，

因为，

所以，

故选：B.

5．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.

答案  

解析： 向量在向量的方向上的数量投影为.故答案为：

6．已知单位向量满足，则向量的夹角为______．

答案  

解析： 解：已知为单位向量，则，

，

，

故答案为：.

7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______

答案  

解析： 解：由题意得：

，即

故答案为：

8．已知，是夹角为的单位向量，设．

(1)求；

(2)求的最小值．

答案   (1)；(2)

解析： （1）由向量，是夹角为的单位向量，可得．    

且．

（2），                           

，．                   

 当且仅当时等号成立，

的最小值为．

题组B  能力提升练

1．，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ）

A． B． C．1 D．

答案   C

解析： 向量在向量方向上的投影等于.故选：C.

2．“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案   B

解析： 若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；

若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．

综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．

故选：B．

3．平面向量与的夹角为，则（    ）

A． B． C．4 D．12

答案   B

解析： 因为平面向量与的夹角为，

所以，，

所以

，

故选：B

4．（多选）已知非零平面向量，，，则说法正确的是（    ）

A．存在唯一的实数对，使 B．若，则

C． D．若，则

答案   BC

解析： A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；

B选项，因为，,是非零平面向量，若，则，，所以，故B正确；

C选项，因为，故C正确；

D选项，若，则，

，所以，故D错误.

故选：BC.

5．已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________.

答案  

解析： 解：因为向量，，

所以向量在方向上的数量投影为 ，

故答案为：

6．已知向量的夹角为，，，则______．

答案  

解析： 解：因为向量的夹角为，，，

所以，

因此，，

故答案为：.

7．如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．

(1)若是线段的中点，，求的值；

(2)若，，求解.

答案   (1)；(2)4.

解析： （1）因为点在边上，且，

所以，

因为是线段的中点，

所以

，

因为，不共线，

所以，

所以；

（2）由题意可得，

，

因为，

所以，

所以，

所以，

因为，，

所以，得，

所以.

题组C  培优拔尖练

1．已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

答案   B

解析： 设向量 的夹角为，，

因为为单位向量，

，

因为，

所以，

所以.

因为，所以.

故选：B

2．已知向量，，，则（   ）

A． B． C．5 D．25

答案   C

解析： 由，可得

由，可得

又，则，解之得

故选：C

3．已知非零向量、满足，且，则的形状是（    ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

答案   D

解析： 解：因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，

由， 的角平分线与垂直，

为等腰三角形，且，

且，

，又，

，

，

三角形为等边三角形．

故选：D．

4．（多选）下列说法中正确的有（    ）

A．已知在上的投影向量为且，则；

B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；

C．若非零向量满足，则与的夹角是.

D．在中，若，则为锐角；

答案   AC

解析： 设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；

因为，则，又因为与夹角为锐角，

所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；

因为，两边同时平方得，即，所以，即，

因此

，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；

因为，所以，

因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，

故选：AC.

5．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．

答案  

解析： 因为，所以，因为，，所以，

，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，

故答案为：.

6．如图，点O为内一点，且，，，则______

答案   8

解析： 解：由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．

又，所以．

在中，，所以．

故答案为：8.

7．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．

答案  

解析： 解：建立如图所示的平面直角坐标系，

可知，，分别在线段、上，

设（），

则，

所以，

所以，

，

所以

，

设，则，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为．

故答案为：

8．已知，，与的夹角是．

(1)计算；

(2)当为何值时，？

答案   (1)；(2).

解析： （1）解：由已知，

所以．

（2）解：若，则，

，则，

．