高中苏教版 (2019)9.4 向量应用精品精练

第06讲  向量应用

知识点01  平面几何中的向量看法

1.向量在平面几何中的应用

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的        法则、        法则，有时用到向量减法的意义.

(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件a//b⇔        (b≠0)(或        ).

(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔        (或        ).

(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式

(5)对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立        系，把        用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.

2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用        表示问题中涉及的几何元素，将        问题转化为        问题.

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.       

【即学即练1】在中，若，则的形状一定是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

知识点02  向量在物理中的应用

1.向量与力：向量是既有        又有        的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是        、方向和        ，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到        上.

2.向量与速度、加速度及位移

速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的        运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标运算.

3.向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的        ，W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)。动量mv实际上是        .

4.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以        为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到        问题.

【即学即练2】已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （    ）

A． B．

C． D．

考法01  用向量解决夹角问题

【典例1】已知三点不共线，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

        考法02  功、动量的计算

【典例2】已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（    ）（）

A．， B．， C．， D．，

题组A  基础过关练

1．已知向量， 向量， 则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

2．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（    ）

A． B． C． D．

3．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ）

A． B． C． D．

4．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ）

A． B． C．13 D．26

5．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.

6．已知力，且和三个力的合力为，则__________．

7．已知，两个力作用于同一个质点，使点从点移到点，则对质点做的功______（即与的数量积）．

8．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.

        题组B  能力提升练

1．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（    ）

A． B．61 C．75 D．60

2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ）

A． B． C． D．

3．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

4．（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ）

A．10 B． C．2 D．22

5．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.

6．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.

7．已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．

(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

参考数据：．

        题组C  培优拔尖练

1．已知非零向量和满足，且，则为(    )

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形

2．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．（多选）下列说法正确的是（   ）

A．已知，，若与的夹角为钝角，则．

B．在中，若，则为等边三角形．

C．在中，若，则为等腰三角形．

D．已知的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有，则．

5．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．

6．已知，，现有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，设P，Q在时分别在，处，则当时所需的时间t为______s.

7．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，点，，则△OMN的面积为______．

8．在梯形中，，分别为直线上的动点.

(1)当为线段上的中点，试用和来表示；

(2)若，求；

(3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值.

9．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．

(1)当多大时，船能垂直到达对岸？

(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？