【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第08讲 平面向量的正交分解及坐标表示 讲义

第8课   平面向量的正交分解及坐标表示

知识点01  　平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相    的向量，叫做把向量作正交分解．

【即学即练1】　平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．

知识点02 　平面向量的坐标表示

1．基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个    分别为i，j，取{i，j}作为    ．

2．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．

3．坐标表示：a＝      ．

4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

【即学即练2】已知点，，则（    ）

A． B． C． D．

反思感悟

点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？

知识点03  平面向量加、减运算的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

【即学即练3】已知点、，且，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

考法01  平面向量的正交分解

【典例1】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ）

A．第一、二象限 B．第二、三象限

C．第三象限 D．第四象限

考法02  平面向量加、减运算的坐标表示

【典例2】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标

反思感悟　平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

考法03  平面向量坐标运算及应用

【典例3】（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)条件：相等向量的对应坐标相等．

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．

题组A  基础过关练

1．在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

2．已知点、，且，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（    ）

A． B． C． D．

4．将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

5．在四边形中，，分别为边的中点，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

8．（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

9．已知向量，且，则实数的值为__________.

10．的重心为，顶点，则___________．

11．已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．

12．已知向量，若，则________.

13．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，

(1)用，表示

(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.

14．（1）已知向量，，，求；

（2）化简：．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1），，，

,,

,,,,；

（2）

．

题组B  能力提升练

1．已知点，则向量的坐标是（    ）

A． B． C． D．

2．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（    ）.

A． B． C．3 D．6

3．若，，，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知中，，，则的最小值为（    ）

A．3 B．5 C． D．

5．已知，点C在内，且.设，则等于（    ）

A． B．3 C． D．

6．（多选）如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.

8．定义:对于实数和两定点,在某图形上恰有个不同的点,使得.称该图形满足“度契合”,若边长为的正方形中,且该正方形满足“度契合”.则实数的取值范围是___________.

9．若向量，则点A，B，C能否构成三角形？若能，求出实数m满足的条件；若不能，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则______，______.

题组C  培优拔尖练

1．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．2

2．如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知向量，满足，，，则（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

4．已知向量，， . 若，则_____.

5．在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.

6．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________.

8．如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为.

（1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；

（2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程.