苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数精品测试题

第08讲  二倍角的三角函数

知识点01  二倍角公式

二倍角的正弦公式：sin 2α＝2sin αcos α，S2α

二倍角的余弦公式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，C2α

二倍角的正切公式：tan 2α＝，T2α

【即学即练1】若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式求出，再根据二倍角得余弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

所以.

故选：B.

【即学即练2】 的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】解：．

故选：A．

【即学即练3】若则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用正切函数的二倍角公式即可.

【详解】.

故选：D

知识点02  倍角公式的逆向变换

1.配方变形：

2.降幂公式：=；=；=；

。

3.升幂公式：=；=

【即学即练4】（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.

【详解】解：由题得.

故选：C

【即学即练5】=

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.

【详解】依题意.

故选：A

【即学即练6】化简=（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简即得.

【详解】

.

故选：C.

考法01  二倍角公式

【典例1】已知，且.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由条件结合同角关系求，再根据正弦的二倍角公式求解即可；

(2)由，然后两边取正弦计算即可.

【详解】（1） ，且，，

∴；

（2）因为,，所以，

结合得：，                    

于是 .

考法02  倍角公式的逆向变换

【典例2】已知的三个内角A，B，C满足：，，求的值.

【答案】

【分析】由三角形内角和可得，由和差化积与积化和差公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】∵，，∴，.

∵，∴，

∴.

由和差化积与积化和差公式，得

，

∴，

化简，得，

∴.

∵，∴，

∴.

故答案为：

题组A  基础过关练

1．已知，，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.

【详解】由题意知，

，

故选：D.

2．若，，则角的终边在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据倍角公式先求出 和 的符号，再确定 终边所在的象限.

【详解】 ， ，

的终边在第四象限；

故选：D.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角差的正切公式求解的值，再利用二倍角的正切公式求解的值即可.

【详解】解：因为，所以.

故选：C.

4．计算：（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用和差化积公式可求解.

【详解】原式.

故选：D

5．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案.

【详解】.

故选：C.

6．化简求值：_______.

【答案】

【分析】直接利用二倍角公式、降幂公式和诱导公式化简求解即可

【详解】解：，

故答案为：

7．函数的最小正周期为__________.

【答案】1

【分析】先根据降幂公式化简函数，再根据余弦函数性质求周期.

【详解】

所以函数的最小正周期为

故答案为：1

8．等于________.

【答案】

【解析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可

【详解】，

故答案为：.

9．利用二倍角公式求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；

（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；

（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；

（4）利用二倍角的正切公式直接求得.

【详解】(1).

(2).

(3)

(4)

10．设，，求的值．

【答案】

【分析】分别利用和差化积公式化简，做商直接求.

【详解】解：

，

所以.

题组B  能力提升练

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把已知等式平方化简即得解.

【详解】两边平方得

故选：

2．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.

【详解】，，

.

故选：A.

3．已知，为第二象限角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角的正切公式可求得结果.

【详解】因为，为第二象限角，则，

所以，，因此，.

故选：D.

4．____．

【答案】

【分析】根据积化和差公式和诱导公式可求出结果.

【详解】原式

.

故答案为：.

5．在中，若，则是__________三角形.

【答案】直角

【分析】由和差化积公式化简得出，进而得出，从而判断的形状.

【详解】由得出

两边除以得，即

由，得到，所以，即

所以，则是直角三角形

故答案为：直角

6．函数的单调递减区间是______.

【答案】，

【分析】复合函数单调性，满足同增异减，注意定义域

【详解】可以看成和的复合，其中在定义域 单调递减，故只需求解的单调递增区间即可，其中，要想，则，，解得：，，而单调递增区间为，

故答案为：，

7．已知，，则的值为______．

【答案】

【分析】利用半角公式结合已知条件求解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，

故答案为：.

8．利用倍角公式求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6).

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)

【分析】（1）利用降幂公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果；

（2）逆用余弦的二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果；

（3）利用降幂公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果；

（4）逆用正切的二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求出结果；

（5）利用同角的平方关系和逆用正弦的二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果；

（6）利用降幂公式和诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.

【详解】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

9．用和角与差角公式证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由、结合两角和、差的正弦公式可证得结论成立；

（2）由、结合两角和、差的正弦公式可证得结论成立.

【详解】(1)证明：

，证毕.

(2)证明：

，证毕.

10．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；(2)

【分析】第（1）问中，利用二倍角公式即可求出，从而求得.

第（2）问中，利用降幂公式及和差化积的正弦公式，即可求解.

【详解】（1）因为，，且，

得，，，，，

从而．

（2）．

题组C  培优拔尖练

1．下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据同角三角函数关系,诱导公式,二倍角公式等逐个选项计算即可.

【详解】对于:,又因为,在上单调递增,所以,故错误;

对于:,故正确;

对于:,当时, ,故错误;

对于:,故错误;

故选: .

2．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过三角函数恒等变换化简，考虑证明当时，，并利用三角函数线完成证明，由此确定的大小.

【详解】因为，，，

所以，

，

在平面直角坐标系中以原点为顶点，轴的正半轴为始边作角，，

设角和单位圆的交点为,过点作垂直与轴，垂足为，过点

作单位圆的切线与的终边交于点, 则，，设劣弧

的弧长为，则，因为，所以，

因为，所以，，

又，，

所以，，

所以，故，

故选：A.

3．（多选）若，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用和差化积公式化简，从而可求得，即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，

因为，，所以，

从而，

于是，

所以，从而．

故选：BC.

4．（多选）下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．的最小值为4 D．

【答案】AD

【分析】A选项通过平方关系和基本不等式进行判断；B选项借助辅助角公式进行判断；C选项利用基本不等式判断；D选项利用倍角公式和正弦函数的值域进行判断.

【详解】对于A：成立，当且仅当时取等号，A正确；

对于B：，B错误；

对于C：不等式当且仅当时取等号，由于所以不能取等号，C错误；

对于D：，D正确.

故选：AD.

5．已知，则______．

【答案】或

【分析】由求得正切值，结合倍角公式建立方程求解即可.

【详解】由得，.

又，整理得，解得.

故答案为：或.

6． _____．

【答案】

【分析】根据积化和差公式以及余弦的二倍角公式即可求解

【详解】

．

故答案为：

7．若，，则______．

【答案】

【分析】利用两角差的余弦公式可得，再利用和差化积公式得到，即可得解.

【详解】，

，

，即，

，

故答案为：

8．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）由两角和正切公式求出，可对角分类讨论由同角三角函数关系求出，再由余弦二倍角公式得解，或先由余弦二倍角公式化简为关于正切的形式求解；

（2）根据（1）中解法一求出，直接计算即可，或由二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系直接化切求解.

【详解】（1）解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，

若为第三象限角，则，

故.

解法二：由已知得，则，则.

（2）解法一：由（1）知，则，，故.

解法二：由已知得，则.

9．证明：；

【详解】证明：

，

故成立.

10．证明：；

【详解】证明：

，

故成立.

11．已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由题知，结合的范围可得的值；

（2）利用降幂公式以及两角差的正弦公式将原式化简，然后用表示，代入即可得解．

【详解】（1）∵，即，

∴，解得或．

∵，∴，∴．

（2）原式＝．