人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练，共21页。试卷主要包含了平面向量的数量积，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积满足的运算律，量数量积的性质，单选题等内容，欢迎下载使用。

对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角.
当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直.
二、平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
例1．已知平面向量，满足，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．5D．3
举一反三
1．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9B．0C．-3D．-9
2、已知，，且与的夹角，则等于（ ）
A．B．6C．D．
3．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
例2．已知向量，的夹角为120°，，，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
举一反三
已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为______．
四、平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例3.设平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1.已知菱形的对角线，点在另一对角线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
五、量数量积的性质：
设两个非零向量，，其夹角为，则：
（1）；
（2）当、同向时，，特别地，；
是、同向的充要分条件；
当、反向时，，是、反向的充要分条件；
当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；
当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.
非零向量，夹角的计算公式：；④.
例4.(1)若，且，则k＝（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
(2)已知，则与的夹角为________．
(3)．已知，，.
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
举一反三
1.已知向量满足与的夹角为，则______．
2．设为单位向量，且，则_________.
3．已知|，|，
(1)若与的夹角为
①求；
②求在上的投影向量．
(2)若，求.
4．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
巩固提升
一、单选题
1．已知向量，满足，，，则（ ）
A．5B．7C．D．
2．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4．在中，有下列四个命题：
①；
②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形.
其中所有正确的命题序号有（ ）
A．①②B．①④C．①②③D．①②③④
二、多选题
5．对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则与中至少有一个为B．向量与向量夹角的范围是
C．若，则D．
6．已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．已知向量是互相垂直的两个单位向量，若，则___________.
8．早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上任意一点，则的值为__________．
四、解答题
9．已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
.
10．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
11．已知，与的夹角为，设．
(1)求的值；
(2)若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
12．已知，当满足下列条件时，分别求与的数量积
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为.
6.2.4向量的数量积
两个向量的夹角
对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角.
当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直.
二、平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
例1．已知平面向量，满足，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接套用向量的数量积公式即可
【详解】
因为，与的夹角为，
所以，
故选：D
举一反三
1．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9B．0C．-3D．-9
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得
故选：D
2、已知，，且与的夹角，则等于（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义进行求解.
【详解】
因为，，且与的夹角，
所以.
故选：A.
3．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用单位向量的定义进行求解.
【详解】
两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则不成立，所以选项B不正确；，则选项D正确．
故选：D.
三、平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
例2．已知向量，的夹角为120°，，，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的投影公式计算即可.
【详解】
解：因为向量在方向上的投影为，
所以在方向上的投影为.
故选：A
举一反三
已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为______．
【答案】
【解析】
【分析】
代入向量在方向上的投影的定义式即可解决.
【详解】
在方向上的投影为．
故答案为：
四、平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例3.设平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解
【详解】
由题意，
则
故选：A
举一反三
1.已知菱形的对角线，点在另一对角线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则为的中点，且，可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
设，则为的中点，且，如下图所示：
，所以，.
故选：B.
2．已知平面非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
显然时，有成立，反之不成立，举反例即可.
【详解】
当时，，，显然有成立
当成立时，不一定成立.
例如：，，
，，满足条件，但此时
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B
五、量数量积的性质：
设两个非零向量，，其夹角为，则：
（1）；
（2）当、同向时，，特别地，；
是、同向的充要分条件；
当、反向时，，是、反向的充要分条件；
当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；
当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.
非零向量，夹角的计算公式：；④.
例4.(1)若，且，则k＝（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题知，再结合数量积运算律运算求解即可.
【详解】
解：由题意，得，
由于，故，
又，于是，解得.
故选：B.
(2)已知，则与的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由夹角公式计算即可.
【详解】
设与的夹角为θ，则cs θ，所以.
故答案为：
(3)．已知，，.
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对化简可求出，而，代值计算即可，
（2）先求出和的值，再利用向量的夹角公式求解即可
(1)
由，得，
因为，，
所以，所以，
所以
(2)
设与的夹角为，
因为，
，
所以，
因为，所以
举一反三
1.已知向量满足与的夹角为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由定义求，根据已知条件及向量数量积的运算律求.
【详解】
根据题意，，
又，则.
故答案为：．
2．设为单位向量，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，可求得，再由即可求出．
【详解】
∵为单位向量，∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：.
3．已知|，|，
(1)若与的夹角为
①求；
②求在上的投影向量．
(2)若，求.
【答案】(1)①；②
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案.
（2）根据，的夹角进行分类讨论，由此求得.
(1)
①.
②在上的投影向量为.
(2)
，
与的夹角为或
当时，.
当时，.
4．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
(1)
解：因为，，，所以；
(2)
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
(3)
解：因为，所以，
所以.
巩固提升
一、单选题
1．已知向量，满足，，，则（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量数量模的计算公式计算即可得答案.
【详解】
解：因为，，，，
所以.
故选：D．
2．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对两边平方，再根据向量，为单位向量，可得，由此即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又向量，为单位向量，所以，所以，即，
故向量与向量的夹角为.
故选：C.
3．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
在中，取的中点，连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，即，即.
又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，
所以为等腰三角形.
故选：C
4．在中，有下列四个命题：
①；
②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形.
其中所有正确的命题序号有（ ）
A．①②B．①④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算可判断①②，根据向量的数量积的运算性质可判断③④的正误，从而得答案.
【详解】
根据向量的加法法则，，①正确；
,故②正确；
由，则，得,
故③正确；
由得，,即，
而为三角形内角，故为钝角，故为钝角三角形.，④错误，
故选：C.
二、多选题
5．对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则与中至少有一个为B．向量与向量夹角的范围是
C．若，则D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义，结合平面向量互相垂直的性质逐一判断即可.
【详解】
A：当与中都不是，时，也能得到，所以本命题不正确；
B：当两个平面向量反向平行时，它们的夹角为，所以本命题正确；
C：因为，所以有，所以本命题正确；
D：，所以本命题正确，
故选：AB
6．已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意，，且不能共线，再求解即可得实数的取值范围，进而得答案.
【详解】
解：因为，，与的夹角为，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且不能共线，
所以，解得，
当向量与向量共线时，有，即，解得，
所以实数的取值范围，
所以实数可能的取值为A，D
故选：AD
三、填空题
7．已知向量是互相垂直的两个单位向量，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量数量积运算即得.
【详解】
∵向量是互相垂直的两个单位向量，
∴
故答案为：.
8．早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上任意一点，则的值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据数量积的几何意义，即可求得结果.
【详解】
因为.
故答案为：16.
四、解答题
9．已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，结合，即可求解；
（2）由，即可求解.
(1)
解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，
又由.
(2)
解：因为向量，，且，
所以.
10．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
【答案】(1)（或）
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
(1)
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
(2)
在上的投影为，
在上的投影向量为．
11．已知，与的夹角为，设．
(1)求的值；
(2)若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)2；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)将展开，通过数量积运算即可得到答案；
(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒
(1)
；
(2)
∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线．
∵，
∴，解得．
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得．
综上所述，实数t的取值范围是．
12．已知，当满足下列条件时，分别求与的数量积
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为.
【答案】(1)或30
(2)0
(3)
【解析】
【详解】
设与的夹角为.
（1）若与同向，则，；
若与反向，则，.
（2）若，则与夹角为，.
（3）与的夹角为，.