高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业，共34页。试卷主要包含了平面向量基本定理，向量的正交分解及坐标表示，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.
例1．已知和不共线，，并且共线，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．如图所示，在矩形中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
3.如图，点E、D分别是中AC（靠近C）、BC（靠近B）边上的三等分点，已知，，试用、表示．
二、向量的正交分解及坐标表示
当时，就说为对向量的正交分解
坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
例2.（1）已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
(2)．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
举一反三
1．已知点，，则___________.
2．已知，则下列说法不正确的是（多选）（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
平面向量加减运算的坐标表示
设，，则
向量的加减法运算：，.
例3.(1)已知，，那么=（ ）
A．（2，2）B．（3，0）C．（4，1）D．（3，2）
（2）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在东侧B．在西侧C．恰好与重合D．无法确定
举一反三
1．已知向量，那么（ ）
A．B．C．D．
2．设，，则（ ）.
A．B．C．D．
平面向量数乘运算的坐标表示
实数与向量的积：.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
例4.若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝（ ）
A．13B．－13
C．9D．－9
举一反三
1.已知平面向量，，若，则___________.
2．设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？
(2)试确定实数，使和同向．
平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
例5.（1）已知A(1，2)，B(3，－1)，C(3，4)，则等于（ ）
A．11B．5
C．－1D．－2
（2）．已知向量、的夹角为，且，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
(3)．已知，.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角.
举一反三
1．已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．中，，，过点A作边BC的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．10B．12C．－10D．－12
3．已知，，若，则______.
4．已知平面向量、满足，，则______________
六、用向量解决常见平面几何问题的技巧：
例6已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
举一反三
1．已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
2．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
巩固提升
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－B．
C．－或D．0
2．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
3．如图，在中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
二、多选题
5．已知平面向量，，则下列命题中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．已知平面向量，则___________.
8．如图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为______.
四、解答题
9．（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
11．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
12．已知、、为同一平面内的三个向量，其中
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求.
13．在平面直角坐标系中，，，（其中）.
(1)若点C在直线AB上，且，求的值.
(2)若点C为的外心，求点C的坐标.
14．已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)(θ为向量a，b的夹角)
长度问题
数量积的定义
|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)
6.3平面向量的基本定理及坐标表示
一、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.
例1．已知和不共线，，并且共线，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量共线，即存在一个实数使，结合题设列方程组求即可.
【详解】
由题意，有，即，可得.
故选：B
举一反三
1．如图所示，在矩形中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出，从而可求.
【详解】
,
而，
故选：A.
2．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
延长，交于点，则三点共线，运用可求解.
【详解】
延长，交于点，则三点共线，于是可得，因且，所以，于是，.
故选：D
3.如图，点E、D分别是中AC（靠近C）、BC（靠近B）边上的三等分点，已知，，试用、表示．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算求解
【详解】
、分别为AC、BC边上的三等分点
，
又，
二、向量的正交分解及坐标表示
当时，就说为对向量的正交分解
坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
例2.（1）已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.
【详解】
由题意得：
， 位于第四象限
故选：D.
(2)．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由点B､C的坐标即可求解的坐标；
（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.
(1)
解：因为点B､C的坐标分别是（-1，3）､（3，4），
所以；
(2)
解：设顶点A的坐标为，
因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），
所以，即，
所以，解得，
所以顶点A的坐标为.
举一反三
1．已知点，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量坐标得，再由模长公式进而得解.
【详解】
由题意得，故.
故答案为：.
2．已知，则下列说法不正确的是（多选）（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
平面向量加减运算的坐标表示
设，，则
向量的加减法运算：，.
例3.(1)已知，，那么=（ ）
A．（2，2）B．（3，0）C．（4，1）D．（3，2）
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量加法的坐标运算即可求解.
【详解】
解：因为，，
所以，
故选：D.
（2）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在东侧B．在西侧C．恰好与重合D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，根据向量的几何意义即可求出结果．
【详解】
如图建立直角坐标系，时，
水流速度为，
轮船的速度，
，
这说明船有x轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在的东方，
故选：A.
举一反三
1．已知向量，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】
，
故选：A
2．设，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量坐标的减法运算可得答案.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
平面向量数乘运算的坐标表示
实数与向量的积：.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
例4.若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝（ ）
A．13B．－13
C．9D．－9
【答案】D
【解析】
【分析】
写出向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，解得答案.
【详解】
由题意可得： ，
因为A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线,
则 ，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9，
故选：D.
举一反三
1.已知平面向量，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，列方程求解即可
【详解】
因为平面向量，，且，
所以，得，
故答案为：
2．设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？
(2)试确定实数，使和同向．
【答案】(1)A，B，D三点共线
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意化简得到，得到共线，进而得到三点共线.
又由有公共点，所以三点共线．
（2）由和同向，存在实数，使，得出方程组，即可求得的值.
(1)
解：由题意，向量，，，
可得，
所以共线，
又由有公共点，所以三点共线．
(2)
解：因为向量和同向，
所以存在实数，使，
即，所以 ，
又由是不共线的两个非零向量，可得，解得或，
又因为，所以．
平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
例5.（1）已知A(1，2)，B(3，－1)，C(3，4)，则等于（ ）
A．11B．5
C．－1D．－2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用向量数量积的坐标运算即可解决
【详解】
∵,
∴
故选: .
（2）．已知向量、的夹角为，且，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由，平方可得，整理得，即可求解结果．
【详解】
由，可得，
由，平方可得，
所以，所以，整理得，
解得或（舍），
故选：A．
(3)．已知，.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角.
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设，利用向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标；
（2）由已知可得，可求得的值，利用平面向量夹角的取值范围即可得解.
(1)
解：因为，设，则，解得.
因此，或.
(2)
解：由已知可得，因为，
则，可得，
所以，，
，则.
举一反三
1．已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两向量垂直计算出参数的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.
【详解】
因为，所以，解得，
所以．
故选：C.
2．中，，，过点A作边BC的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．10B．12C．－10D．－12
【答案】A
【解析】
【分析】
以H为原点，建立平面直角坐标系，分别求出三点的坐标，从而可得的坐标，再根据数量积的坐标表示即可得解.
【详解】
解：以H为原点，建立平面直角坐标系，可知，由：
，，
所以，，又，故，，
所以.
故选：A.
3．已知，，若，则______.
【答案】1或
【解析】
【分析】
根据向量垂直得到等量关系，求出结果.
【详解】
由题意得：，解得：或，经检验，均符合要求.
故答案为：1或
4．已知平面向量、满足，，则______________
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的坐标运算与运算性质可求得结果.
【详解】
由已知可得，故.
故答案为：.
六、用向量解决常见平面几何问题的技巧：
例6已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【答案】(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
当，，三点共线时，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴当时，取得最小值，此时，
∴，，，，
∴
举一反三
1．已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；
（2）根据解方程即可得答案.
(1)
解：
(2)
解：∵向量与互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴当时，向量与互相垂直.
2．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】(1)或.
(2).
【解析】
【分析】
（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；
（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.
(1)
解：设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
(2)
解：由，得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.
巩固提升
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－B．
C．－或D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】
由知：1×2－m2＝0，即或.
故选：C.
2．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由，得，将坐标代入化简计算可得答案
【详解】
因为，，
所以.
因为，
所以，解得.
故选：A.
3．如图，在中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量的线性运算把用表示出来后可得结论．
【详解】
，
所以，，
故选：D
4．已知，，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标公式求.
【详解】
∵，，，
∴，∴
∴，
∴.
故选：C.
二、多选题
5．已知平面向量，，则下列命题中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由向量的定义判断A，由模的坐标表示求出模判断B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D．
【详解】
对于A，由于向量不能比较大小，故A错误；
对于B，∵，∴，故B正确；
对于C，∵，∴不成立，故C错误；
对于D，∵，故D正确．
故选：BD．
6．如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.
【详解】
由已知可得，故D错误；
因为P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，
由,故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BC
三、填空题
7．已知平面向量，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
设，利用，求得，再利用数量积公式可得多大啊.
【详解】
设，由已知得，解得，
即，所以.
故答案为：.
8．如图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
构建直角坐标系，令求的坐标，进而可得，，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.
【详解】
以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y建系，则，，
又，，令，，
故，则，，
，
所以时，取最小值.
故答案为：.
四、解答题
9．（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.
【详解】
（1）因为，，三点共线，所以可得，又，，所以，所以的值为.
（2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为.
10．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
(1)用向量，表示；
(2)设向量，，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即得；
（2）由题可得，则，即求.
(1)
∵为中线上一点，且，
∴
；
(2)
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得,
故的值为.
11．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】(1)1
(2)2
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
(1)
，；
(2)
，所以，解得：，所以；
(3)
因为，所以，所以A，，三点共线.
12．已知、、为同一平面内的三个向量，其中
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）由与垂直，可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
(1)
解：∵，且，
∴，∴，∴.
(2)
解：由与垂直，得，
即
∴.
13．在平面直角坐标系中，，，（其中）.
(1)若点C在直线AB上，且，求的值.
(2)若点C为的外心，求点C的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行的条件和向量垂直的条件列出x,y之间的方程，解方程可得答案.
（2）利用三角形外心的几何性质可得到，进而推得，再根据得到，联立可解得答案..
(1)
因点在直线上，所以，
于是存在，使，即，
又，所以；
因为，所以，
即，
整理得：，
所以.
(2)
因点为的外心，所以，
整理得：
同理由，得，所以，
所以，
又，于是，
解得：，所以点的坐标为.
14．已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据向量的加法及数乘运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.
(1)
，
，又，所以
所以
(2)
过点D作AB的垂线交AB于点，如图，
于是在中，由可知，
根据题意得各点坐标：，，，，，，
所以
所以，，,
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)(θ为向量a，b的夹角)
长度问题
数量积的定义
|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)