人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案
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知识精讲
知识点
1.向量的数乘
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度和方向规定如下:
(1);
(2)时,的方向与的方向相同;当时,与的方向相反;时,.
【微点拨】
(1)对于:①从代数角度看,是实数,是向量,它们的积仍然是向量.的条件是或.②从几何的角度看,对于长度来说,当时,意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍;当时,意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍.
(2)实数与向量可以求积,但不能进行加减运算,如,都无意义.
2.向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律:设、是实数,、是向量,则:
结合律:;
第一分配律:;
③第二分配律:.
3.向量共线定理
(1)内容:
向量与非零向量共线,则有且只有一个实数,使.
(2)向量共线定理的注意问题:
①定理的运用过程中要特别注意.
特别地,若,实数仍存在,但不唯一.
②定理的实质是向量相等,应从大小和方向两个方面理解,借助于实数沟通了两个向量与的关系.
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法.要证三点共线或两直线平行,任取两点确定两个向量,看能否找到唯一的实数使向量相等即可.
【即学即练1】化简的结果是( )
A.B.
C.D.
【即学即练2】已知AD、BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且,,则=( )
A.+B.+
C.+D.+
【即学即练3】设是非零向量,是非零实数,则下列结论中正确的是( )
A.与的方向相同B.与的方向相反
C.与的方向相同D.
【即学即练4】已知平行四边形的对角线与交于点,设,,则( )
A.B.
C.D.
【即学即练5】在梯形ABCD中,=3,则等于( )
A.–+B.–+
C.–+D.–
【即学即练6】已知M为△ABC的边AB的中点,△ABC所在平面内有一个点P,满足,若,则λ的值为( )
A.2B.1
C.D.4
【即学即练7】已知实数和向量有下列说法:
①;②;
③若,则;④若,则.
其中,正确的说法是( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
【即学即练8】设是两个不共线的向量,若向量()与向量共线,则( )
A.B.
C.D.
【即学即练9】化简:_________.
【即学即练10】若向量,则________.
能力拓展
考法01
1.向量的数乘运算
【典例1】等于( )
A.B.
C.D.
考法02
用向量证明三线共点与三点共线问题
实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广,学习实数与向量的积及运算律时,应联想数与数的积的定义及运算律,加深理解,并注意到实数与向量的积仍是一个向量,化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项.
【典例2】设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A.P、A、C三点共线B.P、A、B三点共线
C.P、B、C三点共线D.以上均不正确
【典例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N是BD上一点,BN=BD,求证:M,N,C三点共线.
【即学即练11】已知向量,.求证:与是共线向量.
考法03
3.“姐妹式”巧解向量问题
我们经常会遇到这样一些基本图形:两条相交直线及两条直线外的点(作为多条向量的起点)(如下例1中的图).解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段(直线)被从同一起点出发的向量所截得两线段的比.两次应用上述结论得到一对“姐妹式”,“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组,最后或解方程组或设而不求整体消元,则问题可迎刃而解.
【典例4】如图,在△AOB的边,上分别有,,已知,,连接,,设它们交点为,若,,试用,表示.
【即学即练12】在△中,点是上一点,且,是中点,与交点为,又,则的值为( )
A.B.C.D.
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列运算正确的个数是( )
①;②;
③.
A.0B.1C.2D.3
2.设,是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则( )
A.B.C.D.
3.已知,是不共线向量,则下列各组向量中,是共线向量的有( )
①,;②,;
③,.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
4.如图所示,在中,.若,,则( )
A.B.
C.D.
5.在中,点D在CB的延长线上,且,则等于( )
A.0B.C.D.3
6.若,则下列各式中不正确的是( ).
A.B.C.D.
7.已知,设,则( ).
A.B.C.D.
8.已知向量,且,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,C
C.B,C,DD.A,C,D
9.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图"中,若,则( )
A.B.C.D.
10.已知向量,(为单位向量),则向量与向量( )
A.不共线B.方向相反
C.方向相同D.
11. 设向量,,若与不共线,且点在线段上,,则( )
A.B.C.D.
12. 已知,,,用,表示,则( )
A.B.C.D.
13. 的三边BC,CA,AB的中点分别是,,,则( )
A.B.C.D.
14. 如图,是⊙的直径,点、是半圆弧上的两个三等分点,,,则等于( )
A.B.C.D.
15. 如图,设为内一点,且,则与的面积之比为
A.B.
C.D.
16. 如图,在中,,,若,则的值为
A.B.C.D.
题组B 能力提升练
1. 已知O是△ABC所在平面上的一点,若,则点O是△ABC的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
2. 已知是平面上的一定点,,,是平面上不共线的三个动点,若动点满足,,则点的轨迹一定通过的( )
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
3. 如图,已知四边形是梯形,,,,,分别是,,,的中点,则等于( )
A.B.
C.D.
4. 已知O是所在平面内的一定点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过的( )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
5. 已知点是所在平面上的一点,的三边为,若,则点是的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
6. 已知O为所在平面内的一点,且满足,则的面积与的面积的比值为( )
A.B.C.D.
7. (多选)已知向量,不共线,若,,且A,B,C三点共线,则关于实数,的值可以是( )
A.2,B.−3,
C.2,D.−3,
8. (多选)已知,则下列结论正确的是( )
A.A,B,C,D四点共线B.C,B,D三点共线
C.D.
9.(多选题)等边三角形中,,AD与BE交于F,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10.(多选题)Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,,以下正确的是( )
A.∠APB=120°B.∠BPC=120°
C.2BP=PCD.AP=2PC
11. 已知D,E,F分别为的边BC,CA,AB的中点,,.给出下列五个命题:①;②;③;④;⑤.其中正确的命题是________.(填序号)
12. 在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=_______.
13. 设平面内四边形及任一点O,..若且.则四边形的形状是_________.
14. 如图,在等腰三角形中,已知,,分别是边上的点,且,其中且,若线段的中点分别为,则的最小值是_____.
15. 如图所示,给出下列四个结论:
①;②;
③;④.
其中正确结论的序号是___________.
C 培优拔尖练
1. 已知向量,,且,求向量.
2.已知P为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式.试根据题意作图,观察四边形ABCD的形状.你发现四边形ABCD有什么特殊的性质?并说明你的依据.
3. 在平行四边形中,点N在上,,M为中点,求证:M,N,C三点共线.
4.在中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且,求t的值.
5. 如图,在中,是边上一点,是线段上一点,且,过点作直线与,分别交于点,.
(1)用向量,表示.
(2)试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
6. 点O是梯形对角线的交点,,,设与同向的单位向量为,与同向的单位向量为.
(1)用和表示和;
(2)若点P在梯形所在平面上运动,且,求的最大值和最小值.
课程标准
课标解读
1.掌握向量数乘的定义.
2.了解向量数乘的运算律.
3.理解向量数乘的几何意义.
4.掌握向量的共线定理.
通过本节课的学习要求熟练地进行实数与向量的积的运算,利用向量数乘的几何意义判断两向量共线,能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用.
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