高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品学案

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知识精讲
知识点
1．向量的概念
既有大小又有方向的量叫做向量．
只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．
数量可进行代数运算，向量不能比较大小．
大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征．
温馨提示：
（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度．记作．
（2）零向量：长度为0的向量．记作．的方向是任意的．
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
2．向量的表示法
（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
（2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．
3．相等向量和共线向量
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作．
（2）共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有．
【即学即练1】下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
【即学即练2】下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【即学即练3】．如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
【即学即练4】如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．
【即学即练5】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.
【即学即练6】在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
（1）共线向量？
（2）相反向量？
（3）相同的向量？
（4）模相等的向量？
能力拓展
考法01
1．向量的有关概念
（1）向量的模
①用有向线段表示向量时，向量的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量的模，记作．
②的取值范围为[0，+）．
③向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“>”“<”连接，但向量的模是数量，可以比较大．
（2）零向量
零向量是从长度这个角度进行定义的，不涉及方向．因此，零向量的方向不确定．
（3）单位向量
模长为1的向量，叫单位向量，单位向量a仅具备|a|=1，方向由具体的向量确定．
【典例1】下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【典例2】在下列结论中，正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
考法02
2．向量的表示法
（1）几何表示：向量一般用带箭头的有向线段表示，如图中的向量．
（2）字母表示：向量用起点和终点的字母表示时，起点在前终点在后，上方的箭头不能丢掉，如．
（3）向量与有向线段的区别和联系：
①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
【典例3】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
【典例4】已知圆心为O的上有三点A、B、C，则向量、、是（ ）
A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量
C．模相等的向量D．相等的向量
考法03
3．相等向量和共线向量
（1）共线向量（也称平行向量）
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．向量中的共线包含基线平行和重合两种情况．
（2）相等向量
①用有向线段表示向量时，向量与有向线段的起点位置没有关系，即同向且等长的有向线段都表示同一向量．因此，我们用有向线段表示向量时，可以根据题意选择合适的起点．
②用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定要注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相等、方向相反的两个向量．
③如图，虽然下列向量的起点与终点不同，但表示同一向量．由此可知，向量是可以自由平移的．
【典例5】在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有______；
（2）方向相反的向量有______；
（3）模相等的向量有______.
【典例6】给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【典例7】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例8】如图，在平行四边形中，是两对角线、的交点，设点集，向量集合．试求集合中元素的个数．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
2. 下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
3. 数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．3
4. 给出下列命题：
①两个长度相等的向量一定相等；
②零向量方向不确定；
③若为平行六面体，则；
④若为长方体，则．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5. 下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
7. 下列说法正确的是（ ）
①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上；
②向量a与b平行，且|a|=|b|≠0，则a+b=0或a−b=0；
③两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
④单位向量都相等．
A．①③B．②④ C．①④ D．②③
8．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
9. 设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．与共线D．
10. 下列命题中正确的个数为（ ）
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则、、、四点共线；
③若非零向量与共线，则；
④四边形是平行四边形，则必有；
⑤，则、方向相同或相反.
A．个B．个C．个D．个
11. 设O是的外心，则，，是（ ）
A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量
12. 下列说法错误的是（ ）
A．若非零向量有，，则
B．零向量与任意向量平行
C．已知向量不共线，且，，则
D．平行四边形中，
13. 下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
14. 如图，在中，向量是（ ）
A．有相同起点的向量 B．共线向量C．模相等的向量D．相等向量
15. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
16. 下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
17. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1.（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则与的方向相同或相反D．若、共线，则、、三点共线
2.（多选题）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
3.（多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
4. （多选题）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5. 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.
（1）若与都是单位向量，则.（ ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.（ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（ ）
（4）若与是平行向量，则.（ ）
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量.（ ）
6. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.
7. 已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行km到达丁地，丁地与甲地的距离为________.
8. 图中，小正方形的边长为1，则||＝__，||＝__，||＝__．
9. 已知在边长为2的菱形中．．则________.
10. 若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
11. 已知命题“若，，则”是假命题，则__________.
12. 如图所示，在ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集，向量集合T={，，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为______.
C 培优拔尖练
1. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在的相反向量？
2. 判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若向量与同向，且||>||，则>；
②若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意||＝||，且与的方向相同，则＝；
④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反．
3. 在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与平行的向量；
（3）写出的负向量.
4. 如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
5. 如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
6. 已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
课程标准
课标解读
1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．
2．会区分平行向量、相等向量和共线向量．
通过本节课的学习，要求掌握向量的概念及相关概念，掌握向量的线性关系，掌握向量的几何表示.