高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

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 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.会实数与向量积的坐标表示
2.记住两个向量共线的坐标表示
3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题
【自主学习】
知识点1 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则
知识点2 两个向量共线的坐标表示
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
【合作探究】
探究一 平面向量数乘运算的坐标表示
【例1】已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．
解　a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)
＝(－6,19).
归纳总结：
1)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组).
2)进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.
【练习1】已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
探究二 两个向量共线的坐标表示
【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[分析]　先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．
[解]　因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－.
这时ka＋b＝，且a－3b与－a＋b的对应坐标异号，故当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
归纳总结：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
【练习2】已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝ .
答案.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，得λ＝.
探究三 三点共线问题
【例3-1】已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
[解]　(1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
【例3-2】设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解]　∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
归纳总结：一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用＝λ；二是利用坐标运算.
【练习3】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
解：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
∵、共线，
∴1×m－(－2)×1＝0，∴m＝－2.
即当m＝－2时，A、B、C三点共线．
探究四 待定系数法求向量
【例4】已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
解　设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
归纳总结：待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．
【练习4】已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.
解　设a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
∴解得∴a＝b－c.
探究五 利用向量共线解决几何问题
【例5】已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．
[解]　设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)，
∵P、B、O三点共线，∴∥.
∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
∵P、A、C三点共线，∴∥，
∴6(x－4)＋2y＝0.
由得
∴点P的坐标为(3,3)．

归纳总结：
1)向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行.
2)解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.

【练习5】如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，且AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)如图，连接MB，MD，

∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.

课后作业
A组 基础题
一、选择题
已知向量，若，则m =（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案及解析：C
【分析】
根据向量的坐标运算，求得，再结合，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
2.已知向量，且，则（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
答案及解析：C
【分析】
由向量平行的坐标公式，即可求得.
【详解】，，，
，解得，
故选：C.
3.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数（ ）
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1
答案及解析：B
【分析】
根据向量的加法运算，求得的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.
【详解】因为，又与向量共线
故可得，解得.
故选：B.
4.已知向量，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
答案及解析：A
【分析】
向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．
【详解】解：向量，，
，则，即，
或者-1，
所以是或者的充分不必要条件，
故选：A．
5.已知，，且，则（ ）
A. 9 B. －9 C. 1 D. －1
答案及解析：A
【分析】
利用向量共线定理，得到，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，向量，，因为向量，所以，解得.
故选A．
6.已知，，向量与平行，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：C
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求实数的值.
【详解】，即，
∴.
故选：C.
7.与向量平行的单位向量是（ ）
A. (0,1) B. (1,0)
C. D. (－3,－4)
答案及解析：C
【分析】
由计算即可得出答案.
【详解】与向量平行的一个单位向量，
，
所以.
故选：C
8.已知，，，若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案及解析：A
【分析】
根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.
【详解】由题知:,,,
因为,
所以,
故,
故选:A.
9.（多选题）以A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是（ ）
A. (2,3) B. (2,－1)
C. (4,1) D. (－2,－1)
答案及解析：ACD
【分析】
设再根据向量相等分类讨论可得；
【详解】解：设，若，则，即解得，即；
若，则，即解得，即；
若，则，即解得，即；
故选：ACD
二、填空题
10.已知向量（1，1），，且∥，则m的值等于__________.
答案及解析：－2
【分析】
计算，由向量共线的坐标运算可者．
【详解】由题意，因为∥，所以，解得．
故答案为：．
11.已知向量=(1，1)，=(，2)，若，则实数t =_________.
答案及解析：－3
【分析】
先根据向量的坐标运算法则，计算出和，然后根据向量平行的坐标公式列式计算出.
【详解】=(1，1)，=(，2)，
，，
又，
.
故答案为：.
12.已知，，，若A、B、C三点在同一直线上，则k =______.
答案及解析：1
【分析】
利用向量共线的性质列方程即可得出．
【详解】，
．
、、三点共线，
，解得．
故答案为：．
13.设向量，若向量与向量共线，则 。
答案及解析：2
【分析】
由题意首先求得向量，然后结合向量平行的充分必要条件可得的值.
【详解】=，
由向量共线的充分必要条件有：.
故答案为2．
14.已知三点P、P1、P2在一条直线上，点，，且，则点P的坐标为______.
答案及解析：；
【分析】
先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可.
【详解】解：设点，
由，，
则，，
又，
则 ，解得，
即，
故答案为：.
三、解答题
15.已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
答案及解析：（1）（2）
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），

∵与共线，
∴
∴
16.已知向量，.向量，.
（1）求；
（2）求向量，的坐标；
（3）判断向量与是否平行，并说明理由.
答案及解析：（1）；（2），；（3）向量与平行；
【详解】（1）由，得；
（2），
；
（3），
所以向量与平行.
17.已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当k为何值时，向量与向量共线.
答案及解析（1）（2）
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），

∵与共线，
∴
∴
18.已知.
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若,求点C的坐标.
答案及解析（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【分析】
（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．
【详解】由题意知，，．
（1）∵三点共线，
∴∥，∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为．

B组 能力提升
一、选择题
1.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是( )
A. (－∞,2) B. (2,+∞)
C. (－∞, +∞) D. (－∞,2)∪(2,+∞)
答案及解析：D
【分析】
根据平面向量基本定理只需不共线即可.
【详解】由题意得,平面内的任一向量c都可以唯一表示成(为实数),
则一定不共线,所以,解得,
所以m的取值范围是.
故选：D.

2.在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点若，则a、b的值分别为（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：A
【分析】
取的中点为，连接，可证是的中点，
从而根据平面向量的线性运算计算可得.
【详解】解：取的中点为，
连接，由已知得，
所以，又因为是的中点，
所以是的中点，所以
所以，
故选：
3.已知向量，若则的最小值为
A. 12 B.
C. 15 D.
答案及解析：D
【分析】
因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，
所以3a+2b=1,
所以.
当且仅当时取到最小值.
4.已知向量，.且，则（ ）
A. 2 B.－3 C. 3 D.
答案及解析：B
【分析】
通过得到，再利用和差公式得到答案.
【详解】向量，.且

故答案为B
5.向量，且，则(　 　)
A. B.
C. D.
答案及解析：C
【分析】
先根据求出的值，再利用诱导公式化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
所以.
故选：C

6.对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.若平面内点A，B的坐标分别为，，把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A. B. (0,－2) C. D.
答案及解析：C
【分析】
先求出，再求点P的坐标得解.
【详解】因为，，所以，
因为，
所以，
所以点的坐标为.
故选：C
7.（多选题）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为（ ）
A.－2 B. C. 1 D. －1
答案及解析：ABD
【分析】
若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，即向量不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解
【详解】若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量不共线，
由于向量，，，
故，
若A，B，C三点不共线，则
故选：ABD
二、填空题
8.已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对为向量在基底下的坐标.给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为(1,2)，那么在基底，下的坐标为______.
答案及解析：
【分析】
由题可知，若将，作为基底，则设，然后展开化简得，，从而得，解出的值就得到所求的坐标
【详解】解：由在基底下的坐标为，得，
设在基底，下的坐标为，则
所以
所以
解得，
所以在基底，下的坐标为，
故答案为：
9.已知，，，，且∥，则＝ ．
答案及解析：
【详解】因为，，，由∥知，
属于，
．
10.设，，，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_______．
答案及解析：
【分析】
根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值
11.已知，，，若，则__________．
答案及解析：-3
由可知

，解得，

三、解答题
12.已知向量，，且，其中
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
答案及解析：（1）（2）
【分析】
（1）根据向量平行坐标表示列方程，再根据同角三角函数关系以及特殊角三角函数值求结果；
（2）根据同角三角函数平方关系以及角的范围得，再利用两角和余弦公式得结果.
【详解】（1）∵，，且
∴，即，
∵，∴，
（2）∵，，
∴.
∵，
∴.



C组 挑战压轴题
一、选择题
1.已知关于x的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A. 至少有一个解 B. 至多有一个解
C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解
答案及解析：B
【分析】
根据平面向量基本定理可知，从而将方程整理为，由不共线可得，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.
【详解】由平面向量基本定理可得：
则方程可变为：
即：
不共线
可知方程组可能无解，也可能有一个解
方程至多有一个解
本题正确选项：
二、填空题
2.如图，在平面四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上，且，若，则的值为_______.

答案及解析：

【分析】
根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.
【详解】解:如图建立直角坐标系：

设，
则，，
点在线段上，且，所以，
因为在中，，，
所以，
由题知，是等腰三角形.
所以，
所以，
，
，，，
若，
则，
，解得，，
所以.
故答案为：.
3.如图，在等腰梯形ABCD中，，，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若，其中，，则的取值范围是______.

答案及解析：[0，2]
【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、，利用辅助角公式化简，再利用正弦函数性质可求得结论．
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
则，，，，
，，，，；
设，，
由，
，，
，，
①，
②，
由①②解得，
，
，
，时，，，
，．
故答案为：，．

三、解答题
4.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．

（1）试用向量，表示；
（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，，其中．当EF与AD重合时，，，此时；当EF与BC重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由．
答案及解析：（1）；（2）能得出结论，理由详见解析.

【分析】
（1）设，，可得，，联立可解得，；
（2）设，可得，又，，故，即，即得解
【详解】（1）设，由A，D，B三点共线，
可知存在（，且）使得，
则，又，
所以，
∴，即①，
由B，C，M三点共线，
可知存在（，且）使得，
则，又，
所以，
∴ 即②
由①②得，，故．
（2）能得出结论．
理由：由于E，M，F三点共线，
则存在实数（，且），使得，
于是，
又，，
所以，
所以，
从而，所以消去得．