2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课堂检测

这是一份2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课堂检测，共5页。
1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选A 向量－a与－b的夹角与a与b的夹角相等，夹角为60°.
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
3．若向量a，b满足|b|＝2，a为单位向量，且a与b夹角为θ＝eq \f(3π,4)，则b在a上的投影向量为( )
A.eq \r(2)a B．－eq \r(2)a
C．2a D．－2a
解析：选B |b|cs θa＝2×cs eq \f(3π,4)a＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))a＝－eq \r(2)a，即b在a上的投影向量为－eq \r(2)a.
4．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．对于任意向量a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．对于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a，b共线，则a·b＝±|a||b|
解析：选ACD 由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当a⊥b时，a·b＝0，故选项B错误；因为|a·b|＝|a||b||cs θ|≤|a||b|，故选项C正确；当a，b共线同向时，a·b＝|a||b|cs 0°＝|a||b|，当a，b共线反向时，a·b＝|a||b|cs 180°＝－|a||b|，所以选项D正确．故选A、C、D.
5．已知平面上三点A，B，C，满足|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝3，|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝4，|eq \(CA,\s\up6(―→))|＝5，则eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))·eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(CA,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：选D 由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋eq \(CA,\s\up6(―→))·(eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→)))＝eq \(CA,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝－eq \(AC,\s\up6(―→))2＝－25.
6．已知平面向量a，b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________．
解析：根据题意，得|a＋2b|＝ eq \r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq \r(7).
答案：eq \r(7)
7．已知等腰△ABC的底边BC长为4，则eq \(BA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝________．
解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB＝AC，
所以BD＝eq \f(1,2)BC＝2，
于是|eq \(BA,\s\up6(―→))|cs∠ABC＝|eq \(BD,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,2)×4＝2.
所以eq \(BA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝|eq \(BA,\s\up6(―→))||eq \(BC,\s\up6(―→))|cs∠ABC＝2×4＝8.
答案：8
8．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2 eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cs θ＝3＋2 eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
答案：eq \f(π,6) 6
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a·b的值；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
(2)由(1)，得|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝eq \r(13).
10.如图，在平面内将两块直角三角板拼接在一起，已知∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，记eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AC,\s\up6(―→))＝b.
(1)试用a，b表示向量eq \(AD,\s\up6(―→))，eq \(CD,\s\up6(―→))；
(2)若|b|＝1，求eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(CD,\s\up6(―→)).
解：(1)由题意可知，eq \(CB,\s\up6(―→))＝a－b，AC∥BD，BD＝eq \r(3)BC＝eq \r(3)AC.
∴eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \r(3)b，则eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))＝a＋eq \r(3)b，
eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＝a＋(eq \r(3)－1)b.
(2)∵|b|＝1，∴|a|＝eq \r(2)，a·b＝eq \r(2)cs 45°＝1，
则eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(CD,\s\up6(―→))＝a·[a＋(eq \r(3)－1)b]＝a2＋(eq \r(3)－1)a·b＝2＋eq \r(3)－1＝eq \r(3)＋1.
[B级 综合运用]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,2×5)＝－eq \f(3,5)，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝eq \f(4,5)，∴|a×b|＝2×5×eq \f(4,5)＝8.故选A.
12．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设eq \(AB,\s\up6(―→))＝2a，eq \(BC,\s\up6(―→))＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
解析：选CD 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝eq \r(3)，故A错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cs 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cs 120°＝－1，故D正确．
13．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
14．如图，在△OAB中 ，P为线段AB上一点，则eq \(OP,\s\up6(―→))＝xeq \(OA,\s\up6(―→))＋yeq \(OB,\s\up6(―→)).
(1)若eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(PB,\s\up6(―→))，求x，y的值；
(2)若eq \(AP,\s\up6(―→))＝3eq \(PB,\s\up6(―→))，|eq \(OA,\s\up6(―→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(―→))|＝2，且eq \(OA,\s\up6(―→))与eq \(OB,\s\up6(―→))的夹角为60°，求eq \(OP,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))的值．
解：(1)若eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(PB,\s\up6(―→))，则eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))，
故x＝y＝eq \f(1,2).
(2)因为|eq \(OA,\s\up6(―→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(―→))|＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2eq \r(3).
又因为eq \(AP,\s\up6(―→))＝3eq \(PB,\s\up6(―→))，所以|eq \(PB,\s\up6(―→))|＝eq \f(\r(3),2).
所以|eq \(OP,\s\up6(―→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(19),2)，cs∠OPB＝eq \f(\r(57),19).
所以eq \(OP,\s\up6(―→))与eq \(AB,\s\up6(―→))的夹角θ的余弦值为－eq \f(\r(57),19).
所以eq \(OP,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＝|eq \(OP,\s\up6(―→))||eq \(AB,\s\up6(―→))|cs θ＝－3.
[C级 拓展探究]
15．已知向量a，b，c满足|a|＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(5)，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)若b⊥c，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
解：(1)当b⊥c时，b·c＝0，
即b·c＝xa·b＋(1－x)b2＝0，－5x＋5(1－x)＝0，解得x＝eq \f(1,2).
(2)c2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝25x2－20x＋5＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,5)))eq \s\up12(2)＋1，
当x＝eq \f(2,5)时，|c|取最小值1，此时，c＝eq \f(2,5)a＋eq \f(3,5)b.
设向量a与c的夹角为θ，则a·c＝|a|·|c|cs θ＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)a＋\f(3,5)b))＝1，解得cs θ＝eq \f(\r(10),10)，
故当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为eq \f(\r(10),10).