高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时练习，共5页。

1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：选D 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
2．已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋meq \(AB,\s\up6(―→)).若点P在y轴上，则实数m的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
解析：选A 由题，可得eq \(OA,\s\up6(―→))＝(－1，3)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(3，－7)，所以eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋meq \(AB,\s\up6(―→))＝(3m－1，3－7m)．又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝eq \f(1,3)，故选A.
3．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC 只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
4．若向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(eq \r(3)，－1) B．(－1，－eq \r(3))
C．(－eq \r(3)，－1) D．(－1，eq \r(3))
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)，∴eq \r(3)×eq \r(3)－(－1)×(－3)＝0，∴(－1，eq \r(3))与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)＝－eq \r(3)(－1，eq \r(3))，∴向量a＋2b与(－1，eq \r(3))是共线向量．故选D.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在△AOB内，且∠AOC＝45°，设eq \(OC,\s\up6(―→))＝λeq \(OA,\s\up6(―→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(―→))(λ∈R)，则λ的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(2,3)
解析：选C 如图所示，由题意，设C(x，－x)，则eq \(OC,\s\up6(―→))＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λeq \(OA,\s\up6(―→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(―→))＝(－3λ，2－2λ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ，))解得λ＝eq \f(2,5).
6．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________．
解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq \f(29,2).
答案：－eq \f(29,2)
7．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________．
解析：eq \(AB,\s\up6(―→))＝(5，4)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(AC,\s\up6(―→))，故5a－16＝0，所以a＝eq \f(16,5).
答案：eq \f(16,5)
8．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(―→))|，则点P的坐标为________．
解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(―→))|，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝2eq \(AP,\s\up6(―→))或eq \(AB,\s\up6(―→))＝－2eq \(AP,\s\up6(―→))，故eq \(AP,\s\up6(―→))＝(1，1)或eq \(AP,\s\up6(―→))＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．
答案：(3，1)或(1，－1)
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))，求证：eq \(EF,\s\up6(―→))∥eq \(AB,\s\up6(―→)).
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有eq \(AC,\s\up6(―→))＝(2，2)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－2，3)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(4，－1)．
∵eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，∴eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
∵eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))，∴eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
∵eq \(AE,\s\up6(―→))＝(x1＋1，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
∴x1＝－eq \f(1,3)，y1＝eq \f(2,3)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3))).
∵eq \(BF,\s\up6(―→))＝(x2－3，y2＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1))，
∴x2＝eq \f(7,3)，y2＝0，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))，
∴eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－\f(2,3)))
又∵4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(8,3)×(－1)＝0，
∴eq \(EF,\s\up6(―→))∥eq \(AB,\s\up6(―→)).
10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．
(1)若eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))，求D点的坐标；
(2)设向量a＝eq \(AB,\s\up6(―→))，b＝eq \(BC,\s\up6(―→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，－5)，eq \(CD,\s\up6(―→))＝(x－4，y－1)．
∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))，∴(1，－5)＝(x－4，y－1)，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝x－4，,－5＝y－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝－4，))
∴D点的坐标为(5，－4)．
(2)由题意得a＝eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，－5)，b＝eq \(BC,\s\up6(―→))＝(2，3)，
∴ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)．
∵(ka－b)∥(a＋3b)，
∴4(k－2)＝7(－5k－3)，
解得k＝－eq \f(1,3).
[B级 综合运用]
11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若eq \(AB,\s\up6(―→))和eq \(CD,\s\up6(―→))是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
解析：选C ∵eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(CD,\s\up6(―→))是相反向量，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝－eq \(CD,\s\up6(―→)). 又eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，1)，∴eq \(CD,\s\up6(―→))＝(－1，－1)．设D(x，y)，则eq \(CD,\s\up6(―→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
12．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )
A.eq \(OC,\s\up6(―→))与eq \(BA,\s\up6(―→))平行 B.eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(CA,\s\up6(―→))
C.eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→)) D.eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OA,\s\up6(―→))
解析：选ACD eq \(BA,\s\up6(―→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(―→))＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以eq \(OC,\s\up6(―→))与eq \(BA,\s\up6(―→))平行，A正确.eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))≠eq \(CA,\s\up6(―→))，所以B不正确.eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＝(0，2)＝eq \(OB,\s\up6(―→))，所以C正确.eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－4，0)，eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OA,\s\up6(―→))＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确．
13．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则eq \f(m,n)＝________．
解析：由题意，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由(ma＋nb)∥(a－2b)，得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
14．已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
(1)求实数x的值，使向量eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(CD,\s\up6(―→))共线；
(2)当向量eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(CD,\s\up6(―→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解： (1)∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝(x，1)，eq \(CD,\s\up6(―→))＝(4，x)．
由eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(CD,\s\up6(―→))，得x2＝4，x＝±2.
(2)由已知得eq \(BC,\s\up6(―→))＝(2－2x，x－1)，
当x＝2时，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－2，1)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，1)，
∴eq \(AB,\s\up6(―→))和eq \(BC,\s\up6(―→))不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(6，－3)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－2，1)，
∴eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(BC,\s\up6(―→))，此时A，B，C三点共线．
又eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(CD,\s\up6(―→))，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
[C级 拓展探究]
15．已知点A(3，1)，B(－1，3)，O是坐标原点，点C满足eq \(OC,\s\up6(―→))＝αeq \(OA,\s\up6(―→))＋βeq \(OB,\s\up6(―→))，其中α，β∈R，且α＋β＝1，求点C的坐标(x，y)满足的关系式．
解：由eq \(OC,\s\up6(―→))＝αeq \(OA,\s\up6(―→))＋βeq \(OB,\s\up6(―→))，得(x，y)＝(3α－β，α＋3β)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3α－β，,y＝α＋3β，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3x＋y,10)，,β＝\f(3y－x,10).))
∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0.