人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行复习练习题

这是一份人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行复习练习题，共6页。

1．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
解析：选D 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D.
2．在三棱台A1B1C1­ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C 如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
3．(多选)下列命题中，真命题有( )
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
解析：选BD 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以A为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以C为假命题；B、D是真命题．
4．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．以上均有可能
解析：选D 如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．故选D.
5.已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )
A．l与AD平行
B．l与AD不平行
C．l与AC平行
D．l与BD垂直
解析：选A 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行．
6．在四棱锥P­ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________．
解析：由题意知EF綉 eq \f(1,2)AC，GH綉eq \f(1,2)AC，故EF綉GH，故GH＝2.
答案：2
7．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________．
解析：连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.∴MN綉eq \f(2,3)EF，EF綉eq \f(1,2)BD.∴MN綉eq \f(1,3)BD.∴MN＝eq \f(1,3)m.
答案：eq \f(1,3)m
8．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的是________(填序号)．
解析：由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a⊂平面α，b⊂平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
答案：①
9.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq \f(OA,OA′)＝eq \f(BO,OB′)＝eq \f(CO,OC′)＝eq \f(2,3).
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．
解：(1)证明：因为AA′∩BB′＝O，且eq \f(AO,A′O)＝eq \f(BO,B′O)＝eq \f(2,3)，
所以△AOB∽△A′OB′，
所以∠ABO＝∠A′B′O，
所以AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AO,OA′)＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9).
10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：(1)如图，连接AC.
在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
又易知∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
[B级 综合运用]
11.(多选)如图，在四棱锥A­BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则( )
A．PQ＝eq \f(1,2)MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
解析：选BCD 由题意知PQ＝eq \f(1,2)DE，且DE≠MN，
所以PQ≠eq \f(1,2)MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确．
12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
解析：选A 取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝eq \f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq \f(1,2)AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH13．如图，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四边形EBFD1是________(填“正方形”或“菱形”)．
解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.
∵E，G分别为棱AA1，BB1的中点，∴EG綉A1B1.
又A1B1綉C1D1，∴EG綉C1D1，
从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E綉C1G.
∵F，G分别为棱CC1，BB1的中点，∴C1F綉BG，
从而四边形BGC1F为平行四边形，∴BF綉C1G，
又D1E綉C1G，∴D1E綉BF，
从而四边形EBFD1为平行四边形．
不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝eq \f(\r(5),2)a.
故平行四边形EBFD1是菱形．
答案：菱形
14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中．
(1)如图①所示，若E，F分别为BC，CC1的中点，求证：EF∥AD1；
(2)如图②所示，若F，H分别为CC1，A1A的中点，求证：BF∥HD1.
证明：(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
如图①所示，连接BC1，
因为AB∥CD，AB＝CD，
且CD∥C1D1，CD＝C1D1，
所以AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1；
又E，F分别为BC，CC1的中点，
所以EF∥BC1，所以EF∥AD1.
(2)如图②所示，
取BB1的中点E，连接HE，EC1，
则HE∥A1B1，HE＝A1B1，A1B1∥D1C1，A1B1＝D1C1，
所以HE∥D1C1，HE＝D1C1，
所以四边形HEC1D1是平行四边形，
所以HD1∥EC1；又BE∥FC1，且BE＝FC1＝eq \f(1,2)CC1，
所以四边形EBFC1是平行四边形，
所以BF∥EC1，所以BF∥HD1.
[C级 拓展探究]
15．如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
解：如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.