高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数优秀同步训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数优秀同步训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．sin 255°＝( )


A．eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)


C．eq \f(\r(6)＋\r(3),4)D．－eq \f(\r(6)＋\r(3),4)


B [sin 255°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


2．sin 45°cs 15°＋cs 45°sin 15°的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)


B [sin 45°cs 15°＋cs 45°sin 15°＝sin(45°＋15°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，故选B．]


3．在△ABC中，2cs Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )


A．等边三角形B．等腰三角形


C．直角三角形D．不确定


B [在△ABC中，C＝π－(A＋B)，


∴2cs Bsin A＝sin[π－(A＋B)]


＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B．


∴－sin Acs B＋cs Asin B＝0.


即sin(B－A)＝0.∴A＝B．]


4.eq \f(sin 24°cs 6°－sin 66°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)＝( )


A．－1B．1


C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)


A [eq \f(sin 24°cs 6°－sin 66°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)


＝eq \f(sin 24°cs 6°－cs 24°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)


＝eq \f(sin24°－6°,sin21°－39°)＝eq \f(sin 18°,－sin 18°)＝－1.]


5．函数f (x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为( )


A．eq \f(1,2)B．1


C．eq \f(3,2)D．2


B [∵f (x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)


＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcs(x＋φ)


＝sin(x＋φ)cs φ＋cs(x＋φ)sin φ－2sin φcs(x＋φ)


＝sin(x＋φ)cs φ－cs(x＋φ)sin φ


＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，


∴f (x)的最大值为1.]


二、填空题


6．要使sin α－eq \r(3)cs α＝eq \f(4m－6,4－m)有意义，则实数m的取值范围是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(7,3))) [∵sin α－eq \r(3)cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))，


∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(4m－6,4－m)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(2m－3,4－m)，


∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2m－3,4－m)))≤1，解得－1≤m≤eq \f(7,3).]


7．(一题两空)当－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)时，函数f (x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的最大值为________，最小值为________．


2 －1 [f (x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,3)＋cs xsin \f(π,3)))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).


∵－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5,6)π，


∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤1，


即－1≤f (x)≤2.]


8．已知关于x的方程sin x＋cs x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________．


[－eq \r(2)，1] [∵sin x＋cs x＋k＝0，


∴sin x＋cs x＝－k，


即eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－k.


又∵0≤x≤π，


∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5,4)π，


∴－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2).


∴－1≤－k≤eq \r(2)，即－eq \r(2)≤k≤1.]


三、解答题


9．已知cs(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3,4)π，求sin 2α.


[解] ∵eq \f(π,2)＜β＜eq \f(3,4)π，


∴－eq \f(3,4)π＜－β＜－eq \f(π,2).


∵eq \f(π,2)＜α＜eq \f(3,4)π，


∴－eq \f(π,4)＜α－β＜eq \f(π,4).


又∵β＜α，∴0＜α－β＜eq \f(π,4)，


则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝eq \f(5,13).


∵sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，π＜α＋β＜eq \f(3,2)π，


∴cs(α＋β)＝－eq \f(4,5).


∴sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α－β＋α＋β))


＝sin(α－β)cs(α＋β)＋cs(α－β)sin(α＋β)


＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(56,65).


10．若函数f (x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x，0≤x＜eq \f(π,2).


(1)把f (x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；


(2)判断f (x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性，并求f (x)的最大值．


[解] (1)f (x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x


＝cs x＋eq \r(3)·eq \f(sin x,cs x)·cs x


＝cs x＋eq \r(3)sin x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)cs x＋cs \f(π,6)sin x))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).


(2)∵0≤x＜eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，


由x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，得x≤eq \f(π,3).


∴f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上是单调增函数，


在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是单调减函数．


∴当x＝eq \f(π,3)时，f (x)有最大值为2.





1．eq \r(3)cseq \f(π,12)－sineq \f(π,12)＝( )


A．0 B．－eq \r(2) C．eq \r(2) D．2


C [原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)cs\f(π,12)－cs\f(π,3)sin\f(π,12)))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).]


2．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝asin 2x－eq \r(3)cs 2x的图象关于直线x＝－eq \f(π,12)对称，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－4，则aeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))的最小值为( )


A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2) C．π D．2π


B [∵f (x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,12)对称，


∴f (0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，即－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),2)a－eq \f(\r(3),2)，a＝1，


则f (x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


∵f (x1)f (x2)＝－4，∴f (x1)＝2，f (x2)＝－2或f (x1)＝－2，f (x2)＝2，


即f (x1)，f (x2)一个为最大值，一个为最小值，则|x1－x2|的最小值为eq \f(T,2)，


∵T＝π，∴|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，即aeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))的最小值为eq \f(π,2).故选B．]


3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是________．


－eq \f(4,5) [∵cs α·eq \f(\r(3),2)＋sin α·eq \f(1,2)＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，


∴eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，


∴eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α·\f(\r(3),2)＋cs α·\f(1,2)))＝eq \f(4\r(3),5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).]


4．sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________.


1 [原式＝sin 50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3)sin 10°,cs 10°)))


＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)


＝2sin 50°·eq \f(cs60°－10°,cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)


＝eq \f(sin 50°cs 50°＋cs 50°sin 50°,cs 10°)


＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.]


5．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


求：(1)sin(2α－β)的值；


(2)β的值．


[解] (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β

所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，


sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]


＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(7\r(2),10).


(2)sin β＝sin[α－(α－β)]


＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，


又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).