人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质优质导学案及答案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 二次函数的图象
【典例1】函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣c与二次函数y＝ax2+4x+c的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
题型2 二次函数的性质
【典例1】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）
【变式1】二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【变式2】记min{a，b}表示实数a，b中的较小者，max{a，b}表示实数a，b中的较大者．若方程min{x2，x+2}＝max{x2，﹣x+a}的根有无数个，则a的取值范围为（ ）
A．a＜6B．a＞6C．a＞0D．a＜0
【变式3】由下列表格的对应值，并根据二次函数y＝2x2﹣4x﹣7的图象的对称性，由此可以判断方程2x2﹣4x﹣7＝0正数解的分布范围是（ ）
A．3＜x＜3.1B．3.1＜x＜3.2C．3.2＜x＜3.3D．3.3＜x＜3.4
题型3 二次函数图象与系数的关系
【典例1】小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a=32b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则a+b＞am2+bm；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；⑥OA⋅OB=−ca其中正确的有 ．
题型4 二次函数图象上点的坐标特征
【典例1】已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，则（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
【变式1】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．mn＝1D．mn=1
【变式2】已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【变式3】抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
题型5 二次函数图象与几何变换
【典例1】如图，抛物线l1：y1=a(x+1)2+2与抛物线l2：y2=−(x−2)2−1交于点A（1，﹣2），以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确B．只有②④正确
C．只有③④不正确D．①②③④都正确
【变式1】将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x+3）2﹣5
【变式2】把二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【变式3】将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 ．
题型6 二次函数的最值
【典例1】已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（ ）
A．最小值﹣2B．最小值2C．最大值﹣2D．最大值2
【变式1】二次函数y＝x2﹣4x﹣5的最小值为（ ）
A．2B．0C．﹣5D．﹣9
【变式2】四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式3】已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）关于直线x＝1对称．
（1）求a的值和顶点坐标；
（2）若点C（xc，yc）在此抛物线上，当﹣1≤xc≤2时，求yc的最大值与最小值的差；
（3）若点M（t，y1），N（t+1，y2）都在此抛物线上，且y1＞y2＞0，请直接写出t的取值范围 ．
题型7 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2−2x+3相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A．y=12(x−2)2+1B．y=12(x+2)2−1
C．y=12(x+2)2+1D．y=12(x−2)2−1
【变式1】如图所示，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=12x2−x+4B．y=−12x2−x+4
C．y=12x2+x+4D．y=−12x2+x+4
【变式2】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数表达式为 ．（写出一个即可）
【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 ．
题型8 二次函数的三种形式
【典例1】将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x﹣4）2+1D．y＝（x+4）2+1
【变式1】将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ ．
【变式2】已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
【变式3】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
过 关 验 收
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 ．
抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（5，4）
B．开口向上，顶点坐标（5，4）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）
D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是 ．
已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
已知抛物线y＝x2+mx+2经过（﹣2，n）和（3，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．5D．8
将函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝2（x﹣3）2﹣4B．y＝2（x﹣3）2+4
C．y＝2（x+3）2﹣4D．y＝2（x+3）2+4
将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝x2D．y＝x2+1
为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形ABCD区域（如图），若BC＝x米，则下列4个结论：①AB=(40−52x)米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④矩形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（ ）
A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3
如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
（1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）；
（2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．
将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 ．
把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
题型1 二次函数的图象
题型2 二次函数的性质
题型3 二次函数图象与系数的关系
题型4 二次函数图象上点的坐标特征
题型5 二次函数图象与几何变换
题型6 二次函数的最值
题型7 待定系数法求二次函数解析式
题型8 二次函数的三种形式
解｜题｜知｜识
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
x
﹣1.3
﹣1.2
﹣1.1
﹣1
﹣0.9
y＝2x2﹣4x﹣7
1.58
0.68
﹣0.18
﹣1
﹣1.78
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
解｜题｜知｜识
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
解｜题｜知｜识
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
解｜题｜知｜识
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
解｜题｜知｜识
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．