初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十六章 二次函数26.1 二次函数的概念优秀学案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十六章 二次函数26.1 二次函数的概念优秀学案，共10页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 二次函数的定义
【典例1】下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x2﹣2x+1D．y＝x2+1x
【答案】C
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【变式1】下列函数中y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）（2x﹣1）﹣2x2B．y=1x2−2x+1
C．y＝3x2﹣x+5D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解答】解：A、不是二次函数，故此选项错误；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【变式2】下列变量间具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．正方形的面积S与边长x
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x
D．速度一定时，路程s与时间t
【答案】B
【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：
A．正方形的周长y与边长x的关系为y＝4x，是一次函数，不符合题意；
B．正方形的面积S与边长x的关系为S＝x2，符合二次函数形式，符合题意；
C．三角形的高一定时，面积y与底边x的关系为y=12ℎx（h为定值），是一次函数，不符合题意；
D．速度一定时，路程s与时间t的关系为s＝vt（v为定值），是一次函数，不符合题意；
故选：B．
【变式3】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y=2xC．y＝x2+2x﹣3D．y=2x2+2x
【答案】C
【解答】解：A、y＝2x+1，最高次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B、y=2x，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝x2+2x﹣3，符合二次函数定义，符合题意；
D、y=2x2+2x，含有分式，不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【变式4】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】（1）﹣0.9，2，﹣3；
（2）﹣2，0，﹣7；
（3）﹣1，1，0．
【解答】解：y＝﹣0.9x2+2x﹣3的二次项系数为﹣0.9，一次项系数为2，常数项为﹣3；
y＝﹣2x2﹣7的二次项系数为﹣2，一次项系数为0，常数项为﹣7；
y＝﹣x2+x的二次项系数为﹣1，一次项系数为1，常数项为0；
填表如下：
故答案为：（1）﹣0.9，2，﹣3；
（2）﹣2，0，﹣7；
（3）﹣1，1，0．
【变式5】已知关于x的函数y=(m2+m)xm2−2m+2+2x−1．
（1）若该函数为二次函数，求m的值；
（2）若该函数为一次函数，求m的值．
【答案】（1）m＝2；（2）m＝1或m＝0或﹣1．
【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，m2﹣2m+2＝1且m2+m+2≠0或m2+m＝0．
解得m＝1或m＝0或﹣1．
故m＝1或m＝0或﹣1．
【变式6】已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
m2−2=1m+2≠0，
解得m=±3，
当m=±3时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
m2−2=2m+2≠0，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x=±2，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（±2，﹣8）．
过 关 验 收
若关于x的函数y=(m−3)xm2−7+x+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由条件可知最高次项为x2，且系数不为0，
∴m2﹣7＝2，解得：m＝±3，
又∵二次项系数m﹣3≠0，即m≠3，
∴m＝﹣3．
故选：A．
下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=3−3x2；
②y=2x2；
③y＝x（3﹣5x）；
④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①y＝3−3x2；③y＝x（3﹣5x）；是二次函数，共2个，
故选：B．
下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1
B．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
C．y＝﹣x2+2
D．y=12x−2
【答案】C
【解答】解：A．该选项是一次函数，不符合题意；
B．当a≠0时是二次函数，不符合题意；
C．y＝﹣x2+2是二次函数，符合题意；
D．y=12x−2是一次函数，不符合题意．
故选：C．
函数y=(m+2)x(m2−m−4)+(m−3)x+m是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或﹣6B．1C．﹣2或3D．3
【答案】D
【解答】解：根据二次函数定义可知：m+2≠0，m2﹣m﹣4＝2，
解得m＝3，
故选：D．
关于x的二次函数的解析式是y＝﹣3x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣4，﹣1B．3，﹣4，1C．﹣3，4，1D．﹣3，4，﹣1
【答案】C
【解答】解：函数解析式y＝﹣3x2+4x+1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是﹣3，4，1．
故选：C．
如果函数y＝（k﹣2）xk2−2k+2+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）
A．1或2B．0或2C．2D．0
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−2k+2+kx+1是关于x的二次函数，
∴k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．
解得k＝0．
故选：D．
函数y＝2x2﹣3x+1的一次项系数是（ ）
A．2B．﹣3C．3D．1
【答案】B
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3x+1的一次项﹣3x，一次项系数是﹣3．
故选：B．
若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）
A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0
C．m≠0D．m≠0，或p≠0
【答案】C
【解答】解：根据题意得当m≠0时，y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数．
故选：C．
下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c
C．y=1x2+xD．s＝2t2﹣2t+1
【答案】D
【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，3B．0，4，3C．1，﹣4，3D．0，﹣4，3
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数是1，一次项系数是﹣4，常数项是3；
故选：C．
下列函数：①y＝3−3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①y＝3−3x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，
故选：C．
在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系；
②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①属于二次函数关系，故符合题意；
②属于一次函数关系，故不符合题意；
③属于二次函数关系，故符合题意；
④属于一次函数关系，故不符合题意；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个．
故选：B．
若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠﹣1C．m≠1D．m≠±1
【答案】C
【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：C．
若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
若y＝（2﹣a）x|a|是二次函数，则a等于（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵y＝（2﹣a）x|a|是二次函数，
∴|a|＝2且2﹣a≠0，
∴a＝﹣2．
故选：C．
已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，
∴|m+1|＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
请你写一个图象过点（1，﹣2）的二次函数：y＝﹣2x2（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣2x2（答案不唯一）．
【解答】解：设二次函数为y＝ax2，
代入点（1，﹣2）得﹣2＝a，
∴过点（1，﹣2）的二次函数可以为：y＝﹣2x2，
故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．
若函数y=(k−2)xk2−k是关于x的二次函数，则一次函数y＝kx﹣1的图象不经过第 一 象限．
【答案】一．
【解答】解：根据二次函数的定义可知k2﹣k＝2且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣1，
∵k＝﹣1＜0，b＝﹣1＜0，
图象不经过第一象限，
故答案为：一．
二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是﹣4，
∴二次项系数与常数项的和是：3+（﹣4）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
若函数y=(m−2)xm2−m+x−1是关于x的二次函数．则常数m的值是 ﹣1 ．
【答案】﹣1
【解答】解：∵y=(m−2)xm2−m+x−1是关于x的二次函数，
∴m−2≠0m2−m=2，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
已知y=(a+1)xa2+1+3x−8是二次函数，则a＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由条件可知a2+1＝2，
解得a1＝﹣1或a2＝1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
若y=(m−4)xm2−6m+10+2x+5是关于x的二次函数，则m的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得，m2−6m+10=2m−4≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
已知函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17．
（1）当k ＝3 时，该函数为一次函数：
（2）当k ≠±3 时，该函数为二次函数．
【答案】＝3；≠±3．
【解答】解：（1）∵函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17为一次函数，
∴k2﹣9＝0，且k+3≠0，
解得：k＝±3且k≠﹣3，
∴k＝3；
（ 2 ）∵函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17为二次函数，
∴k2﹣9≠0，
∴k≠±3．
故答案为：＝3；≠±3．题型1 二次函数的定义
解｜题｜知｜识
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3
﹣0.9
2
﹣3
（2）y＝﹣2x2﹣7
﹣2
0
﹣7
（3）y＝﹣x2+x
﹣1
1
0
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3
﹣0.9
2
﹣3
（2）y＝﹣2x2﹣7
﹣2
0
﹣7
（3）y＝﹣x2+x
﹣1
1
0