初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 二次函数的图象优质导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 二次函数的图象优质导学案，文件包含第一章运动的描述单元测试原卷版docx、第一章运动的描述单元测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

考 点 演 练
题型1 二次函数的图象
【典例1】一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】二次函数y＝2ax2+3bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（ ）
A．74B．2C．94D．4
题型2 二次函数的性质
【典例1】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
【变式1】关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．图象顶点坐标为（3，﹣1）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【变式2】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）
【变式3】关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴交于点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1
D．x＞1时，y随x增大而增大
题型3 二次函数图象与系数的关系
【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③（a+c）2＞b2；④a＜c−b2，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（ ）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0B．（a+c）2＞b2C．b＞﹣2aD．4a+2b+c＞0
题型4 二次函数图象上点的坐标特征
【典例1】若点A(14，y1)，B(−32，y2)，C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝﹣x2﹣2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
【变式1】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【变式2】已知抛物线y＝ax2﹣5ax﹣1（a＞0）经过点A（3t，y1），B（t，y2），若A，B两点均在直线y＝﹣4a﹣1的下方，且y1＜y2，则t的取值范围是（ ）
A．1＜t＜4B．54＜t＜4C．0＜t＜1D．1＜t＜54
【变式3】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．mn=1
题型5 二次函数的三种形式
【典例1】把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣2
【变式1】将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
【变式2】将二次函数y＝2x2﹣12x+3转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
【变式3】将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
题型6 二次函数的最值
【典例1】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（ ）
A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3
【变式1】对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象，下列说法中正确的是（ ）
A．有最低点，坐标是（2，﹣1）
B．有最高点，坐标是（2，1）
C．有最高点，坐标是（﹣2，﹣1）
D．有最低点，坐标是（﹣2，﹣1）
【变式2】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2025，2025）都是“平衡点”．已知二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x+c−34的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜72C．2≤m≤4D．94＜m≤72
【变式3】函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．0D．5
题型7 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3
【变式1】请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是直线x＝1的抛物线的表达式： ．
【变式2】请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，3）的抛物线的表达式： ．
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②抛物线一定经过点（3，0）；
③在对称轴左侧，y随x增大而减小；
④若A(−34，y1)，B(75，y2)两点在此抛物线上，则y1＞y2．
过 关 验 收
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．2C．6D．8
3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
4．如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 ．
5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．当x＝1时，y取最大值2
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
6．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数y=−13x2的图象相同的抛物线的是（ ）
A．y=13(x−5)2+1B．y=−13x2−5
C．y=−13(x+5)2−1D．y=13(x−5)2−1
7．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2+1的说法，不正确的是（ ）
A．图象关于直线x＝2对称
B．图象开口向上
C．图象的顶点坐标是（2，1）
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
8．写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（﹣3，2），可以是 ．
9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
10．抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 ．
11．在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线y=12x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
12．（1）解方程：2x2﹣4x＝3；
（2）用配方法求抛物线y＝﹣2x2+4x﹣6的顶点坐标和对称轴．
13．操作与探究：已知点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上的一个动点．
（1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y＝x2+2x﹣3的图象；
（2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ；
②方程x−1x=−2的根是 （结果保留一位小数）；
③当x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ；
④当﹣2≤x≤n时，函数值﹣4≤y≤﹣3，直接写出n的取值范围 ．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（2，1），且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是B（3，0），另一个交点是A．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点A的坐标和对称轴；
（3）求当﹣2＜x＜3时，直接写出函数值的取值范围．
15．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图，小明同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的为（ ）
A．①②④B．②③④C．②④⑤D．②④⑥
16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+5，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m≥﹣1C．m＞﹣1D．m≤﹣1
17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=13．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④19a+13b＜am2+bm（m≠13）．上述结论中，正确结论的序号有 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
21．若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m＝ ．
22．已知函数y＝3x2﹣6x﹣24，
（1）通过配方，写出其对称轴，顶点坐标；
（2）分别求出其与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出函数的大致图象，结合图象说明，当x取何值时，y＜0？
23．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（ ）
A．﹣2或10B．10或2C．2D．53
24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝2时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
25．二次函数y＝﹣3x2+12x﹣5的最大值是（ ）
A．7B．﹣7C．17D．﹣17
26．当m≤x≤m+2时，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2，则m满足的条件为（ ）
A．m＝4或﹣2或0≤m≤2B．m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣2或0≤m≤2D．m＝4或2或﹣2≤m≤0
27．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
28．点（a，b）在二次函数y＝x2+x+2的图象上，则a+b的最小值是 ．
29．二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为 ．
30．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 ．
题型1 二次函数的图象
题型2 二次函数的性质
题型3 二次函数图象与系数的关系
题型4 二次函数图象上点的坐标特征
题型5 二次函数的三种形式
题型6 二次函数的最值
题型7 待定系数法求二次函数解析式
解｜题｜知｜识
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
解｜题｜知｜识
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
解｜题｜知｜识
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
解｜题｜知｜识
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
0
4
6
4
…