沪科版（2024）九年级上册（2024）21.2 二次函数的图象和性质优秀第3课时练习

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本课核心问题
面对 y=ax²+bx+c，怎样不画出大量点也能准确预判并检验它的图象和性质？
一、学习目标
1. 掌握把 y=ax²+bx+c 配成 y=a(x-h)²+k 的步骤，并能展开复核
2. 能够由解析式与图像确定抛物线的开口、顶点、对称轴、增减性和最值
3. 会用顶点、对称轴和对称点简洁作图，并解决参数或有限区间中的性质问题
二、重点
• 一般式配成顶点式
• 由顶点式统一读取图象和函数性质
三、难点
• 配方中的等价补偿
• 在指定自变量范围内重新判断最值
学习支架
同一坐标系中的两条抛物线：比较开口、顶点与增减
从顶点式读性质
一般式研究五步法
1. 确认 a≠0
2. 提取 a 后配方
3. 写成顶点式
4. 读出五类性质并作图
5. 展开或代入特殊点复核
四、知识要点
1. 顶点式是连接平移与性质的桥梁
函数 y=a(x-h)²+k 的图象由 y=ax² 平移得到：水平方向由 h 决定，竖直方向由 k 决定。顶点是 (h,k)，对称轴是直线 x=h。这里括号内是 x-h，所以读横坐标时要特别注意符号：y=2(x+3)²-1 可写成 y=2[x-(-3)]²-1，顶点是 (-3,-1)，不是 (3,-1)。平移不改变 a，因此开口方向和开口大小保持不变。
2. 把一般式配成顶点式
对 y=ax²+bx+c（a≠0），先从含 x 的两项中提取 a：y=a[x²+(b/a)x]+c。括号内一次项系数是 b/a，它的一半是 b/(2a)，因此补上 [b/(2a)]²，同时减去同样的量：y=a{[x+b/(2a)]²-b²/(4a²)}+c
=a[x+b/(2a)]²+(4ac-b²)/(4a)。所以 h=-b/(2a)，k=(4ac-b²)/(4a)。关键不是死记结论，而是保证每一步等价。复核方法有两种：把顶点式展开回一般式；或把 x=0 代入，检查函数值是否仍为 c。
3. 用开口和对称轴统领全部性质
写成 y=a(x-h)²+k 后，(x-h)²≥0。若 a>0，则 a(x-h)²≥0，所以 y≥k，顶点处取得最小值 k；图像从左向顶点下降、从顶点向右上升，即 xh 时增大。若 a0，抛物线开口向上；顶点为 (-2,-3)，对称轴为直线 x=-2。当 x-2 时，y随x的增大而增大。当 x=-2 时，y取得最小值-3。复核：把顶点式展开可还原为原式；代入 x=0，两种形式的函数值都为5。
【点拨】提取2以后，括号内一次项系数为4，取一半得2；补4后必须减4。性质表述要写出分界点 x=-2。
【例2】
例2 函数 y=-x²+2x+3 的图像如支架所示。（1）写成顶点式并说明图像性质；（2）当 -1≤x≤3 时求函数的最大值和最小值。
【解答】（1）y=-(x²-2x)+3=-[(x-1)²-1]+3=-(x-1)²+4。抛物线开口向下，顶点为 (1,4)，对称轴为 x=1；当 x1 时 y随x增大而减小；整条抛物线在 x=1 处取得最大值4。（2）顶点横坐标1在区间[-1,3]内，所以区间最大值仍为4。计算两个端点：y(-1)=0，y(3)=0。故区间最小值为0，在 x=-1 或 x=3 时取得。复核：两个端点关于 x=1 对称，函数值相等，和图像一致。
【点拨】“开口向下”只说明顶点是最大点；有限闭区间的最小值通常要比较端点，不能说函数没有最小值。
【例3】
例3 已知 y=x²-4x+m 的顶点在直线 y=-2x+1 上，求 m，并复核顶点条件。
【解答】y=x²-4x+m=(x-2)²+m-4，所以顶点为 (2,m-4)。顶点在直线 y=-2x+1 上，把 x=2、y=m-4 代入：m-4=-2×2+1=-3，解得 m=1。此时抛物线为 y=(x-2)²-3，顶点为 (2,-3)。复核：直线上当 x=2 时，y=-2×2+1=-3，顶点确在该直线上；展开 (x-2)²-3=x²-4x+1，常数项也为 m=1。
【点拨】顶点在直线上，表示顶点的横、纵坐标同时满足直线方程；不要把抛物线上任意点代替顶点。
同 步 练 习
一般式研究五步法
1. 确认 a≠0
2. 提取 a 后配方
3. 写成顶点式
4. 读出五类性质并作图
5. 展开或代入特殊点复核
★ 基础巩固
1. 抛物线 y=3(x-2)²-5 的顶点是（________），对称轴是（________），开口向（________）。
2. 抛物线 y=-2(x+1)²+4 的顶点是 (1,4)。（ ）
3. 函数 y=-3x²+6x-2 的对称轴是（________）。
A. x=-1 B. x=1
C. x=-2 D. x=2
4. 把 y=x²-6x+10 配方得 y=（________），其最小值为（________）。
5. 对于 y=2(x+3)²-1，当 x0，开口向上；在对称轴x=-3左侧，y随x的增大而减小。
第6题：y=4(x+2)²-3
【解析】左移2得到x替换为x+2，下移3在函数值后减3；a保持4。
第7题：(-1,7)
【解析】5到对称轴x=2的距离为3，轴左侧同距离的横坐标是2-3=-1；对称点纵坐标不变。
第8题：C
【解析】a=-21时递减。（3）顶点式给出轴，a的符号给出开口方向，沿图像从左到右判断升降。
【解析】本题要求把图像观察与配方结论互相验证，不能只写“由图可知”。
第12题：错误在于括号内补4后没有减4。正确过程：y=2(x²-4x)+3=2[(x-2)²-4]+3=2(x-2)²-5。检验：展开得2x²-8x+8-5=2x²-8x+3；或代入x=0，两式均得3。
【解析】配方必须保持恒等；“展开”和“代特殊值”都是有效检验。
第13题：（1）y=a(x²-4x)+1=a(x-2)²+1-4a，对称轴为x=2。（2）有最高点说明开口向下，所以a